极小化序列

英文

minimizing sequences

简介

使泛函值的极限为泛函极小值的函数序列.设D_A是希尔伯特空间H的一个线性稠密子集，如果D_A上的泛函I有下界，即

d=I(v)

存在，序列{u_n}⊂D_A使得

I(u_k)=d，I(u₁)≥I(u₂)≥…≥I(u_k)≥…，

则称{u_k}是泛函I的极小化序列.如果A是D_A上的正定算子，则其相应的泛函

F(u)=(Au，u)-(f，u)

必有极小化序列，以H_A表示D_A关于新范数

‖u‖_A＝(Au，u)

完备化得到的希尔伯特空间，则此极小化序列在H_A(也在H)中收敛于一个函数u∈H_A，且此函数u是变分问题

F(u)=F(v)

的解，也是算子方程Au=f的广义解(弱解).例如，设Ω是Rⁿ中具有C¹边界∂ Ω的有界区域，则A=-Δ是D_A＝{u∈C²(Ω)∩C¹(Ω–)|u在∂ Ω=0}上的正定算子，它对应的泛函

有极小化序列{u_k}，在H_A＝W^1，2₀(Ω)中u_k→u，u是变分问题

F(u)=F(v)

的解.根据变分问题

F(u)=F(v)

有解的充分必要条件是Au=f有解u∈D_A，故u也是泊松方程边值问题

的弱解.