如前所述，在传热过程中，若时间不是一个因素，则这种情况称之为稳态。不考虑时 间因素的传热研究在分析上提供了某些简化。如在上节中所讨论的式(2-26)和式(2- 27)分别是具有内热源和不含内热源的稳态导热的基本方程式。这两个方程式适用于性 质不随方向而改变的各向同性介质，同时也假定物性是不取决于温度的。
2.2.2.1 没有热源的一维系统
一维拉普拉斯方程的通用形式如下：
(2-28)
此处，对于直角、圆柱和球坐标系，i分别为0、1或2。
(1)平壁 对于图2-6所示的平壁，应用i=0的式(2-28)，方程式和应满足的边 界条件是：
(2-29)
把式(2-29)分离变量并积分两次，得：
T(x)=C1x+C2
应用边界条件计算积分常数C1和C2，得：
C2＝T0
把C1和C2代回前一式，温度分布最终表示为
或
(2-30)
图2-6 平壁的 稳态导热
根据式(2-30)，在给定条件下平壁中的温度变化是直线，如图2-6所示。
应用傅里叶热流量方程式可以确定这种情形的热流通量或热流量。在前一节中给出 的以下这个方程式，以数量的形式重复如下，以供参考。
因为稳态的情形，φx是常数，这个方程式可以分离变量并直接积分：
给出
(2-31)
另一方面，温度梯度dT/dx可以从式(2-32)计算得到，将它代入式(2-1)可以得到 相同的结果。
在式(2-31)中，λA/L这个量是平壁的热导。这个量的倒数L/λA称为热阻。
(2) 圆筒壁 对于通过圆筒壁的径向稳态导热，拉普拉斯方程取下述形式：
(2-32)
分离变量并积分，得到：
(2-33)
再积分得：
T=C1lnr+C2
图2-7 圆筒壁的稳态导热
系统和边界条件表示于图2-7，即T(ri)=Ti和T(ro)=T0，因此积分常数C1和C2为：
C2＝Ti-C1lnri
于是T(r)的表达式变为：
在确定热流量时，应用圆柱坐标表示的傅里叶热流量方程式：
在这种情形下，可变的热量通流截面积是2πrL，式(2-33)给出温度梯度dT/dr。将 这些项代入热流量的表示式，得到
(2-34)
可见，圆筒壁的热阻为
，形状系数为
。
我们发现，上式和用其他方法得到的式(2-8)是相同的。
(3)球壁 在球的情形下，对于径向热流，一维的拉普拉斯方程的形式写为：
(2-35)
分离变量并积分两次，得到：
(2-36)
和
对于上述球的情况，可适用的边界条件是T(ri)=Ti和T(ro)=T0。应用这些边界 条件，得到积分常数为：
最后，T(r)为：
(2-37)
球壁中径向热流量的表示式为：
式中，A=4πR2，dT/dr由式(2-36)给出。将这些数值代入上式，φr变为：
(2-38)
从式(2-38)可以看出，球壁的热阻为
(2-39)
而形状系数为
(2-40)
为了方便读者，把迄今讨论的三种一维稳态导热情况的热流量、热阻和形状系数的表 示式概括于表2-6。
表2-6 一维稳态导热的结果摘要
2.2.2.2 具有内热源的一维稳态导热
本节将讨论具有内热源的稳态导热。从分析意义上说，由内热源所产生的最明显影 响是其相应基本方程的形式的不同，以及求解该方程的方法的不同和所得结果与上一节 所得结果的不同。
图2-8 具有 内热源的平壁
能量加给整个介质的内热源称为均匀热源，而加给边界或介质中 特定部位的热源称为非均匀热源。均匀的添加能量将改变基本方程 的形式，非均匀的添加能量不改变基本方程，但是将会在边界条件下 反映出来，从而以不同的方式影响其求解的结果。在食品工业中遇到 的多数是均匀热源的情况，例如冷却刚收获的豌豆或青刀豆，当豌豆 或青刀豆成堆装，且由于呼吸而放出热量时，便是均匀热源的情况。 在这节中，我们只讨论均匀添加能量的这种类型。
对于图2-8所示的平壁，均匀的容积发热率为q(W/m3)。在这 种情况下，表面温度可以记为是常数。
一维泊松方程适用于这种情况。对于x方向，式(2-26)可以 写成：
(2-41)
第一次分离变量并积分得到：
利用对称性边界条件，在x=0时，dT/dx=0，计算积分常数C1，这样得到的常数C1 为零。
第二次分离变量并积分得到：
在这种情形下，相应的边界条件是T(±L)=TL，由这个条件计算得到的C2为：
T(x)的最终表示式是：
(2-42)
对于圆柱体的情况，基本方程是圆柱体坐标系的一维泊松方程：
(2-43)
边界条件是：
在r=0时(对称性)
r=R时 T=TL
分离变量并积分一次，得到：
从对称性条件得到常数C1为零。第二次分离变量并积分，得到：
或
(2-44)
如知道圆柱体的均匀发热量q，则可以利用式(2-44)，根据圆柱体的表面温度而算 得圆柱体中心的温度T0。
2.2.2.3 二维和三维稳态导热
在涉及的空间变量多于一个的情形下，拉普拉斯方 程或泊松方程的求解变得更为复杂。本节限于强调数 值方法求解二维或三维拉普拉斯方程。
传热问题的传统表达式的分析解虽然有着极为重 要的意义，但随着数字计算机的发展，多维的热方程式 的数值解法越来越受到广泛应用。差分法是微分方程 数值求解的重要方法。先从导热的差分表达式说起。
差分的原理是将导热体划分成许多微元体，如图 2-9所示。图中，中间这个微元体叫做“节点i，j”，它是 许多这样的节点中的一个，这些节点构成研究物体的 总体。
根据差分原理，一阶导数dT/dx的中心差分表达 式为：
图2-9 导热介质中节点 i，j的有限差分网络
(2-45)
二阶导数的中心差分式为：
(2-46)
用差分方法可以导得差分方程表达式。为了方便起见，我们重写热方程式(2-24) 如下：
对此式，使用几种差分方法来替代对时间和对空间的导数。作为初步的近似，我们将 用中心差分方法来描述▽2T项。这样，对于二维的问题我们得到
(2-47)
节点(i，j)的温度表示为Ti，j，它与图2-9中所示的那个以其邻近虚线画出的矩形 有关。这个矩形以(i，j)点为中心，由中心点的物理量，如Ti，j、ρi，j和Ci，j来描述。图示 的这些矩形组成一个矩形网络，这个网络细分整个导热介质而构成。这些矩形或微元体 的中心点，也形成一个矩形网络，网络的交点称为节点。节的物性值假定代表以这个节点 为中心的微元体的物性值。这样，微元体内物理量就被“集中”成排列中的每一个节点的 单一值。式(2-47)将是我们用数值计算法求解导热问题的基本出发点。
现在我们来讨论无内热源的二维平板稳态导热的数值求解法。参阅图2-9。
在这种情况下，由于没有内热源，即q=0，由于是稳态过程，故温度不随时间而变，即∂T/∂t=0，因此适用的微分方程式是拉普拉斯方程的二维形式：
(2-48)
此式相应的差分方程式应该是
(2-49)
式(2-49)称为二维平板稳态导热方程的中心差分表达式。对于△x=△y的正方形 网络的情形，Ti，j的解为：
图2-10 用数值法分析 稳态导热的二维平板
(2-50)
上式表明，给定节点的温度是相邻各节点温度 的算术平均值。
应用有限中心差分表达式(2-50)，在图2-10 给定边界条件下，可以计算出温度分布状况。计算 时，常用FORTRAN语言编程，用高斯-赛德尔 (Gauss-Seidel)迭代法求解。如在x和y方向上 各给定6个增量使之划分成微元体，边界温度如上 图所示。计算所得的各节点温度，即二维平板内的温度分布如下：
400.00 300.00 300.00 300.00 300.00 300.00
400.00 345.47 322.36 311.00 304.55 300.00
400.00 359.49 332.98 317.06 307.21 300.00
400.00 359.48 332.97 317.06 307.20 300.00
400.00 345.46 322.36 310.99 304.55 300.00
400.00 300.00 300.00 300.00 300.00 300.00
下面讨论有内热源的情况，这时，求解方法采用高斯消元法，而不用上述情况下的高 斯-赛德尔迭代法。
图2-11给出了有内热源的厚度为0.3m的平板稳态导热的情形。该平板一侧暴露 于温度为TA＝295K的空气中，表面传热系数为hA＝130W/(m2·K)，另一侧为温度TB＝ 505K的煤气，表面传热系数hB为710W/(m2·K)。
在这个二维问题中，把钢制平壁任意划分为6个小部分，于是有7个位置的温度 (T1，T2，……T7)是希望确定的(两个表面节点和五个内节点)。此7个位置的节点的序 号依次为1，2，3，……，7。
对每一个节点写出热平衡方程可得到需要求解的方程组。注意导入微元体的热量为 正，导出的为负，内热为正。节点的排列和所求的量示于图2-11。
每一个节点的方程式为
节点1： φCA-φ1-2+
＝0
节点2： φ1-2-φ2-3+
＝0
节点3： φ2-3-φ3-4+
＝0
节点4： φ3-4-φ4-5+
＝0
节点5： φ4-5-φ5-6+
＝0
节点6： φ5-6-φ6-7+
＝0
节点7： φ6-7-φCB+
＝0
上列式子是以整个端侧传热面积A来表达的，为简化，可 以1m2的传热面积来计算。另外，只有两个表面节点的等式不 同其他5个节点。现以节点1、2为例将式子改写如下，其他可类推：
图2-11 平板的节点排列
节点1：
节点2：
比较此两式，可见表节点微元体内的介质层体积，只有内节点微元体内的一半，故其发热 量也只有一半。
此两式经过整理，得到：
可用类似的方式重新改写其余6个节点的表示式。这样得到的方程组的全部7个方 程如下：
C1TA-C2T1+T2 =C3/2
T1-2T2十T3 =C3
T2-2T3+T4 =C3
T3-2T4+T5 =C3
T4-2T5+T6 =C3
T5-2T6+T7 =C3
T6-C4T7+C5TB =C3/2
式中，常数Cn(n=1～5)为：
上述方程组是Tn的代数方程组，可以应用高斯消元法进行数值求解。
用于计算的FORTRAN程序(略)是按照可以代入不同的节点尺寸、材料导热系数、 边界温度、表面传热系数和内热源强度而编写的。在本例的情况下，节点间矩为0.05m， 导热系数为常数，其值为36.4W/(m·K)，表面热导和边界温度在前面已经给出，内热源强 度
是0，20000，40000，60000，80000和100000W/m3。所算出的节点温度为：
＝0时， 388.1 404.8 421.4 438.0 454.7 471.3 487.9
＝20000时， 335.3 571.3 593.6 602.2 597.1 578.1 545.5
＝40000时， 682.5 737.9 765.9 766.4 739.4 685.0 603.1
＝60000时， 829.6 904.5 938.1 930.6 881.8 791.8 660.6
＝80000时， 976.8 1071.0 1110.4 1094.7 1024.2 898.7 718.2
＝100000时， 1123.9 1237.6 1282.6 1258.9 1166.5 1005.9 775.8
图2-12 不同内热源 数值时温度分布的比较
结果总结于图2-12。图中表示了在每一个
值时的温度分布。 可以看出，内热源对不同位置 (包括每个表面)温度的影响，以及最大内节点温度 从高表面传热系数的高温气体处，向低表面传热系 数的低温气体的一侧移动的情况。
刚才讨论的两种数值计算法的情形，在表达 式、求解方法以及给定和所求数据的类型有很大不 同。读者应意识到应用数字计算机求解稳态传热 问题时，可能出现多种变化。