特征线方法

英文

method of characteristics

简介

一种双曲型偏微分方程数值解法.指以特征理论为基础，求解双曲型偏微分方程的近似计算方法.它产生于19世纪末，20世纪三四十年代，曾应用此算法作人工计算，解决了一些问题，电子计算机出现之后，得到进一步发展和广泛应用.以两个自变量两个未知函数的一阶拟线性双曲型方程组

为例说明此方法，式中

为二维向量，A为二阶方阵.如(1)是狭义双曲型的，则存在可逆矩阵

和实对角阵

使A=G^-1ΛG，其中λ₁和λ₂(λ₁≠λ₂)为矩阵A的实特征值.特征方向

确定方程(1)的第i族特征线，沿这族特征线的特征关系是

g_i，1+g_i，2

　 =g_i，1f₁+g_i，2f₂ (i=1，2)，(3)

或

式中

表示函数u_j沿特征方向τ_i的方向导数，f^*_i＝g_i，1f₁+g_i，2f₂(i=1，2).特征线方法就是利用特征线(2)上的特征关系(4)来求方程(1)的近似解的数值方法.设在两个邻近的点Q₁(x⁽¹⁾，t⁽¹⁾)和Q₂(x⁽²⁾，t⁽²⁾)上已知函数值相应为(u⁽¹⁾₁，u⁽¹⁾₂)和(u⁽²⁾₁，u⁽²⁾₂)，则可按如下方法近似地求出过Q₁的第一族特征线与过Q₂的第二族特征线的交点的位置Q₃(x⁽³⁾，t⁽³⁾)以及其上的函数值(u⁽³⁾₁，u⁽³⁾₂).对i=1，2差分化特征线方程(2)得

(5)

对i=1，2差分化特征关系(4)得

(6)

式中上标(j)表示在Q_j点上求值.从(5)式可解得交点Q₃的坐标的近似值x⁽³⁾和t⁽³⁾;从(6)式可解出交点Q₃上的函数的近似值u⁽³⁾₁和u⁽³⁾₂.如果(5)式和(6)式中的系数和右端项取为Q₁和Q₃(Q₂和Q₃)上相应量的平均值，就把计算结果从一阶精度提高到二阶精度.利用上述方法逐点计算可得到特征线网格(见示意图)及其上各网格点的解.

特征线网格示意图