食品百科

2.1.2 基本热流量方程式

2023-02-14

既然传热遵循一定的规律,在数学上就可以用一定的方程式来描述。本节将讨论用 于描述三种基本传热方式的基本热流量方程式。

2.1.2.1 导热方程式

导热基本上是一种需要温度梯度作为推动力的分子现象。傅里叶定律描述了导热的基 本规律。傅里叶定律表明了通过均匀物体导热的热量传递速率(或称传热量)与传热面积成 正比,与温度降成正比,而与物体的厚度成反比的关系。在数学上,傅里叶定律表示为:

        (2-1)

式中 φx–热流量或传热速率,w

 A–传热面积,m2

 dT/dx–每单位厚度的温度降,k/m

 λ–热导率,W/(m·K)

傅里叶定律可写成下面更广义的面积热流量的形式。面积热流量或热流密度的完整 表达式为:

       (2-2)

式中,qx是面积热流量,其单位是W/(m2·K),而▽T是温度梯度的向量形式。考虑 到导热热流量发生在温度梯度降低的方向这一事实,式(2-1)和式(2-2)中的负号是必 要的。这两个公式分别是傅里叶热流量方程式的标量形式和向量形式,有时称为傅里叶 导热第一定律。

根据傅里叶热流量方程式,面积热流量和温度梯度成正比,比例系数λ叫做热导率 (导热系数)。热导率是给定物质的一种性质,式(2-1)和(2-2)则是热导率的定义式。

热导率是物质的非常重要的性质,是表示物质导热能力的物性参数。不同的物质,其 热导率各不相同。同一种物质,其热导率也随该物质的结构、密度、湿度、压力和温度而变 化。热导率的数值一般由实验确定,并可从有关手册或文献中查到。表2-1,表2-2和 表2-3给出了一些物质的热导率值。

表2-1 某些物质的热导率(0~100℃)

物 料 密度/(kg/m3) 热导率/[W/(m·K)]
石棉

混凝土

耐火砖

85%氧化镁粉

软木片

聚氯乙烯

600

2300

1700

1840

216

160

0.15

0.127

0.695~0.812

1.04

0.0695

0.0464

0.139~0.151

表2-2 某些固态食品的热导率

品 名 温度/℃ 水分/% 热导率/[W/(m·K)]
谷类

鳕鱼(冰冻)

鲜鱼

21.1

-23.3

0

0.91 0.140

0.019

0.431

橘子

梨(冰冻)

30.3

-12.2

61.2 0.431

0.50

猪肉

土豆

-14.3

-12.8

75.1 0.43

1.09

香肠

小麦

烟叶

24.4

30

65 0.411

0.163

0.073

乳粉

醋栗(冰冻)

38.9

-11.7

  0.418

0.028

表2-3 某些液态食品的热导率

品 名 温度/℃ 水分/% 热导率/[W/(m·K)]
苹果沙司

香蕉泥

22.5

16.6

  0.692

0.692

奶油

蜂蜜

苹果汁

浓缩乳

炼乳(含脂2.5%)

脱脂乳

花生油

乳清

4.4

2.2

20

26.7

20

1 .5

3.9

20

15

12.6

87.4

80

0.197

0.50

0.559

0.54

0.505

0.538

0.168

0.58

一般而言,金属的热导率最大,非金属固体次之,液体较小,气体最小。

固态食品是典型的非金属固体,其热导率都很低,原因是由于食品中缺乏金属中通常 存在的高密度自由电子的缘故。一般来说,电的良导体也是热的良导体,同样电的优良绝 缘体也是优良的绝热体。通常λ<0.23W/(m·K)的材料可用做保温材料(或绝热材料)。 表2-1给出了某些保温材料的λ值。

液体的热导率的范围为0.090~0.7W/(m·K)。水比所有的水溶液的热导率都高。水 溶液的热导率随浓度的增加而降低。其他液体也是如此,纯液体的热导率比其溶液为高。

冰的热导率几乎是水的4倍,冰和水的热导率截然不同,可用以说明食品的冷冻和解 冻速度之间的差别。在冷冻过程中,热量通过冰层传出。由于冰层的热导率比水的大,所 以传热速度较快,在解冻过程中,情况恰好相反,外层的冰晶体首先融化,四周逐渐被水层 所包围,热流通过水层的阻力较大,水层起了绝热的作用。显而易见,食品解冻比冷冻要 慢得多。

气体的热导率的范围为0.0058~0.58W/(m·K)。空气在0℃时的热导率为 0.0245W/(m·K),故静止的空气是一种良好的绝热材料。因此,某些多孔性材料,如泡沫 混凝土、泡沫塑料等都是良好的绝热材料。

一般物质的热导率均随温度而变化。金属材料的热导率随温度升高而降低。非金属 材料的热导率则相反。除水和甘油之外,大多数液体的热导率随温度升高而降低。气体 的热导率随温度的升高而增大。

经验证明,绝大多数材料的热导率与温度具有直线关系,即:

λ=λ0(1+bT)       (2-3)

式中 T–温度

 λ0–0℃时的热导率

 b–实验测定的常数

在实际计算中,热导率值常按传热过程中上、下限温度的算术平均值来计算,并把此 值作为常数处理。由此可见,式(2-1)中的λ实际上是在温度T1和T2之间的λ值。

压力对固体和液体的热导率的影响很小,可以忽略不计。气体也是如此,仅在压力超 过196.13MPa(2000at),或低于196.13Pa(20mmH2O)时才 有影响。

图2-1 沿圆柱轴线传热

(1) 圆柱体轴向导热 圆柱体轴向导热的典型例子是 一根两端温度不同的杆壁侧方绝热的杆子。由于绝热,杆壁 没有热量损失,而只有热量从高温一端流向低温一端,杆的 温度沿轴向分布,不随时间而变。

设圆柱体的长度为L,热端温度为T1,冷端温度为T2, 如图2-1所示。当达到稳定状态时,圆柱体所有横截面上 的热流量相等。这种情况可以适用傅里叶热流量方程式的 标量形式:

          (2-4)

因为φl是常数,在上述方程式中,可以分离变量并求解如下:

因为圆柱体的横截面积处处相等,所以A是常数。食品的热导率λ随温度变化不 大,通常采用温度T1和T2间的平均值。所以:

φl(L-0)=-λA(T2-T1)

          (2-5)

沿圆柱体轴线的各种温度可以表示为:

          (2-6)

式中 T–圆柱体离T1端距离为l处的温度

从上述方程可以看出,温度沿圆柱体轴向是线性分布的。

(2) 圆柱体径向导热 圆柱体径向导热的情况与轴向 导热不一样。这时,在稳态传热的情况下,虽然通过径向各 环状截面积的传热速率φr相等,但由于通流截面积是变化 的,所以热流通量qr就不是一个常数,而是一个变量。这 在食品工业中是经常发生的。最典型的例子是蒸汽通过内 径为ri,外径为ro的管道。管道内壁和外壁的温度分别为 Ti和To,管道长度为L,如图2-2所示。

图2-2 通过具有定温表面的管壁的稳态径向导热

因为管内壁温度高于外壁温度,热量是由内壁向外壁 传递。这时式(2-6)可以写成:

          (2-7)

注意到A=2πrL,这个方程式变为:

在稳态传热情况下,φr是常量。分离变量并求解,得:

          (2-8)

下面的例子说明了式(2-8)的具体应用。

[例2-1]管内径ri为3.81cm,外径ro为4.83cm,管道内外壁温度分别为370K和 360K,管道材料为低碳钢,其λ为42.9W/(m·K),管道长度为3m,求通过管道壁的热量 损失以及通过内外表面的热流通量。

将已知参数直接代入式(2-8)即可算出通过管道壁的热量损失,

关于管内、外表面的热流通量,需要算出管内、外壁的面积:

Ai=π×0.0381×3=0.359(m2)

Ao=π×0.0483×3=0.455(m2)

于是,内、外表面的热流通量分别为:

内表面

外表面

对于同样的热流量(传热速率),所求得的热流通量相差25%之多,因此,读者应注 意,一个给定的热流通量以哪一个面积为基准是很重要的。

(3)平板导热 平板导热的情况与圆柱体轴向导热是一样的,因此,方程式(2-7)同 样适用于平板导热的情况,即:

          (2-9)

此处所不同的是L是平板的厚度,T1和T2分别表示平板内、外侧壁的温度,λ是 内、外侧壁间的平均热导率。同样的道理,平板两侧间不同位置的温度分布也是线性的, 参阅式(2-8)。

上述情况是将平板的λ作为常数来处理的。如果热导率是温度的函数,一般具有如 式(2-3)所示的直线关系,此时,传热情况将是怎样的呢? 为了分析方便起见,将式(2- 3)重写如下:

λ=λ0(1+bT)

将上述表达式代入傅里叶热流量方程式,得

分离变量并求解,得

          (2-10)

图2-3 平壁稳态导热的温度分布

1-λ为常数

2-λ为温度的线性函数

可以看到,在式(2-10)中,大括号中的一项就是根据温度的 算术平均值算出的热导率。因此,实际上,式(2-10)和式(2-9) 是等价的,所不同的是式(2-10)所显示的温度在平板壁厚方向 上的分布是一条非线性的曲线,而后者是一条直线,如图2-3 所示。

(4) 圆锥体导热 图2-4是圆锥体导热的情况。在这种情 况下,横截面积随圆截体轴向距离h而变。从图2-4可以看出:

(h1-h)R1=h1R

式中 h–离圆锥体底的距离

 R–距离h处的半径

横截面积由下式给定:

在这种情况下应用傅里叶热流量方程式,式(2-6)变为:

          (2-11)

在方程式(2-11)中分离变量并求解,得:

          (2-12)

图2-4 圆锥体导热

温度沿圆锥体轴向的分布成双曲线。从式(2-12)可以看出,当h=0时,方程式是 不连续的。这表明,由于点没有面积,因此没有热量通过。在现实情况下,圆锥体的顶点 常常做成是有一定面积的。

2.1.2.2 对流

1701年,牛顿首先提出了对流换热的基本热流量方程式。这个称之为牛顿公式或牛 顿冷却定律的表达式为:

φ=hA(Ts-Tf)           (2-13)

式中 φ–对流换热量,W

 A–垂直于热流方向的截面积,m2

 Ts-Tf–传热的温差推动力,K

 h–表面传热系数,W/(m2·K)

表面传热系数h是表明对流传热强度的一项特性值。它不是流体的物性,但与流体 的物性有关。其物理意义是单位时间内,固体壁面和流体的温度差为1K时,每单位面积 所传递的热量。

温度差可以写成式(2-13)中的形式,也可以写成Tf-Ts。这个温差推动力决定了 流体是向着给定的表面传热,还是由给定的表面向流体传热。牛顿公式很少像傅里叶热 流量方程式那样写成矢量的形式。表面的取向,即表面与相邻流体的热交换是由流体到 表面,还是由表面到流体,决定了传热的方向。

在以后的章节中,我们将深入地讨论对流换热。除了传热的基本概念和热力学第 一定律的概念之外,对流传热还必须考虑像牛顿第二运动定律所描述的动量的影响。 但我们知道,直接邻近表面的流体层,其能量传递的机理仅仅是导热,而与所涉及到的 流动现象无直接关系。正是流体的这些表面导热层,控制着传热量,并决定着h的 数值。

式(2-13)的定量经验计算是极为简单的,因为这个方程式本身很简单。描述对流传 热现象的困难在于计算表面传热系数的数值。我们研究对流传热的大部分时间是花费在 h数值的确定上。

与相变有关的对流能量传递,特别是伴有液相和气相之间相变情况下的对流能量传 递,也用式(2-13)来计算。沸腾过程和冷凝过程都有较高的h值。表2-4给出了几种 典型的表面传热系数h。

表2-4 各种对流情况下h的近似值

换 热 情 况 h/[W/(m2·K)]
蒸汽冷凝

水沸腾

氨蒸发

氨冷凝

强制对流,水

强制对流,空气

自然对流,空气

牛乳在水平冷却器内流过

水在dg25的管内流过(1.2m/s)

空气在dg25管内流过(3m/s)

5000~100000

2500~25000

1700~28000

5100~9100

250~15000

25~500

5~50

1100~3700

5300

40

可以把式(2-13)与式(2-8)、式(2-9)进行比较,它们在形式上是类似的。每个公 式右边△T的系数都起着同样的作用,即起着每一种情况和几何条件下传热中的热导的 作用(与电学中的电导类似)。对流热导、通过圆管壁导热的热导、通过平壁导热的热导分 别是:

Gf=hA (W/K)

可把这些量的倒数称为每一种传热情况的热阻(类似于电学中的电阻),其单位为 K/W。

[例2-2]一根钢管的给定条件如例[2-1]所述。钢管周围水的温度为280K,管内 流动着温度为372K的蒸汽。试计算钢管内、外表面的对流换热系数,并说明发生在内、 外表面上的对流换热的机理。

在例2-1中,已算出管道内表面的热流通量为95.0kW/m2。应用式(2-13)求h,得:

根据表2-4,很明显,蒸汽在钢管内表面上凝结。

同样的方法用于外表面,水一侧的表面传热系数为:

要使h值达到这个数值,管道外侧的水必定处于强制对流状态。

2.1.2.3 热辐射

辐射传热不需要传递介质。事实上,当两表面之间的空间没有任何物质时,辐射换热 为最大。辐射换热能够发生在两表面之间,表面与气体或有关介质之间,或者辐射换热可 能要考虑几个表面与其间的流体组分之间的复杂的相互作用。如前所述,通过辐射方式 来传递能量是一种电磁现象,但人们还不清楚这个传递方式的确切本质。然而,用适当的 准确度来分析讨论这个复杂的问题还是有可能的。

理想的辐射或吸收的物体称为黑体。黑体发射的辐射能由下式给出:

φ=σAT4          (2-14)

式中 φ–辐射能,W

 A–发射表面的面积,m2

 T–热力学温度,K

 σ–斯蒂芬-玻尔兹曼常数,其数值等于5.676×10-8W/(m2·K4)

式(2-14)是发射辐射能的基本热流量方程式,称为斯蒂芬-玻尔兹曼热流量方程 式,或斯蒂芬-玻尔兹曼热辐射定律。式(2-14)是斯蒂芬在1879年根据实验结果提出 的,玻尔兹曼在1884年根据热力学的原理导出此式。

斯蒂芬-玻尔兹曼热流量方程式是很简单的,其中没有考虑几何形状、发射表面与它 能投射到的其他表面或介质之间的相互作用,即任何非黑体表面的特性。这些因素将在 后面详细地讨论。

2.1.2.4 复合传热过程

虽然,为了讨论方便我们可以把导热、对流和辐射区分开来,但是一个涉及传热的实 际工程问题,通常至少包含两种或者所有三种传热方式。例如,食品工业在很多场合下涉 及冷流体与热流体之间的热交换。被加热 (或冷却)的有如牛乳、果汁、油脂等流体,而 所用的加热或冷却介质多数为蒸汽、热水、冷 却水或冷冻盐水等。冷热流体的热交换通常 通过间壁的传热实现。热流体先将热量以对 流放热的方式传给固体壁,通过固体壁的导 热传热以后,再将热量又以对流传热的方式 传给冷流体。间壁式传热是食品工业中应用 最广泛的传热方式之一。由于这种方式包含 了两种传热方式,因此是一个复合传热过程。

图2-5 通过表面具有对流 换热的复合平壁的传热

图2-5表示由两种不同材料组成的复 合平壁。它把温度不同的两种流体隔开。这种情况实际上可被看成是一个保温桶的薄 壁。一种材料因其隔热性良好而被放置在桶的外侧。另一种材料则因其结构特性而被放 置在内侧。桶内盛有温度较高的液体。热流体和冷空气的温度分别为Th和Tc,材料的 表面温度为T1和T3,两平壁材料交界面的温度为T2。由于传热壁为薄壁,热量通过这 个过程各部分的通量截面积近似相等,其传热量可以写成:

          (2-15)

由此可见,对于通过薄圆筒壁或平壁的稳态导热来说,温度分布可认为是线性的。

稳态还要求所有的φ是相同的,这样可写出下列一串等式:

          (2-16)

这些公式中的每一个式子都完全可以用来计算热流量。如果用φ写出每一项温度 差,可以得到下面的表达式:

          (2-17)

其中任意两个或两个以上的式子相加都将得到另外一个φ的表达式。而且这些表 达式中包含了作为局部传热推动力的局部表面温度差。这就使得我们能够在交界面温度 未知的情况下求出φ。

如果将所有的温度差公式相加,最后得到的φ的表达式为:

          (2-18)

上式只包含有热流体和冷空气之间的总温度差。

式(2-18)可以看成是传热量与推动力(温度差)和热流路径上各部分热阻之和之间 的关系式。这一概念与电学中欧姆定律相类似,在传热学中,相应的有:

          (2-19)

式中 ∑Ri–所涉及的串联的各种热阻之和

在涉及到复合方式时,另一种通用的表示传热量的方法是:

φ=UA△T           (2-20)

式中 U–总传热系数,它的单位是W/(m2·K),与膜系数h的单位相同。很明显,总传热系数与总热阻之间的关系如下:

          (2-21)

有时,把热流量表达式中包含系统几何形状的那部分与其他项分离开来,并称为形状系数 (S)。形状系数由下式定义:

φ=λS△T (2-22)

最后,形状系数S,总传热系数U和总热阻∑Ri可以由下式联系起来:

          (2-23)

复合传热过程的分析在下面的例题中进行说明。

[例2-3] 一根外径D1为3.34cm的钢管,外表面温度T1为480K,放置在温度 T2=305K的静止空气中,钢管表面与空气之间的对流换热系数为8.5W/(m2·K)。现计 划将85%的氧化镁隔热材料敷设到管道的外表面以减少热损失。如果钢管表面温度和 对流换热系数不变,欲将热损失减少一半,隔热材料的厚度应为多少?

为简化计算,拟以单位管长的表面热损失为计算基准,对于裸露的管道

φo=hA△T=8.5×π×0.0334×(480-305)=156W/m

假设隔热层的外径为D2,则对于隔热管道

把所有含有D2的项移到方程的一边,并尽量化简,得

满足上述等式的D2值是0.072m,因此,隔热管道的外径是0.072m,所需要的隔热层厚 度略小于2cm。