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(非线性方程组的)牛顿(解)法

英文

Newton meth-od (of nonlinear equations)

简介

解非线性方程组的一种经典方法.它是方程求根牛顿法的推广.当已知xk是非线性方程组F(x)=0的解x*的一个近似时,用F(x)在点xk的泰勒展开线性部分近似F(x),从而得到方程组解x*的新近似,记为xk+1.即由

F(x)≈F(xk)+F′(xk)(x-xk)=0,

当F′(xk)非奇,得

xk+1=xk-F′(xk)-1F(xk) (k=0,1,…),

这就是牛顿法,其中

F′(xk)=

是F在xk处的雅可比矩阵.牛顿法计算时先给初始近似x0,逐次求出x1,x2,…,由xk出发算xk+1,先要计算F(xk)及F′(xk),然后解线性方程组

此方程组称为牛顿方程,求得解Δxk,于是有

xk+1=xk+Δxk.

若F′(x)在解x*附近连续、非奇异,并且F′(x)在x*邻域满足条件

常数r>0,则牛顿法是二阶收敛的.牛顿法的优点是收敛快,缺点是初始近似值x0在x*附近时才能保证其收敛,且每步要算F(xk)及F′(xk)的值,计算量较大.

在Rn空间中,牛顿法局部收敛性定理是由龙格(Runge,C.D.T.)于1899年给出的,范因(Fine,H.B.)于1916年第一次在不假定方程解存在的情况下证明了牛顿法收敛性,而最著名的收敛性定理是俄国数学家坎托罗维奇(Канторович,Л.В.)于1948年给出的.以后有关牛顿法收敛性及误差估计还有不少研究成果.