(非线性方程组的)牛顿(解)法

英文

Newton meth-od (of nonlinear equations)

简介

解非线性方程组的一种经典方法.它是方程求根牛顿法的推广.当已知x^k是非线性方程组F(x)=0的解x^*的一个近似时，用F(x)在点x^k的泰勒展开线性部分近似F(x)，从而得到方程组解x^*的新近似，记为x^k+1.即由

F(x)≈F(x^k)+F′(x^k)(x-x^k)=0，

当F′(x^k)非奇，得

x^k+1＝x^k-F′(x^k)^-1F(x^k) (k=0，1，…)，

这就是牛顿法，其中

F′(x^k)=

是F在x^k处的雅可比矩阵.牛顿法计算时先给初始近似x⁰，逐次求出x¹，x²，…，由x^k出发算x^k+1，先要计算F(x^k)及F′(x^k)，然后解线性方程组

此方程组称为牛顿方程，求得解Δx^k，于是有

x^k+1＝x^k+Δx^k.

若F′(x)在解x^*附近连续、非奇异，并且F′(x)在x^*邻域满足条件

常数r>0，则牛顿法是二阶收敛的.牛顿法的优点是收敛快，缺点是初始近似值x⁰在x^*附近时才能保证其收敛，且每步要算F(x^k)及F′(x^k)的值，计算量较大.

在Rⁿ空间中，牛顿法局部收敛性定理是由龙格(Runge，C.D.T.)于1899年给出的，范因(Fine，H.B.)于1916年第一次在不假定方程解存在的情况下证明了牛顿法收敛性，而最著名的收敛性定理是俄国数学家坎托罗维奇(Канторович，Л.В.)于1948年给出的.以后有关牛顿法收敛性及误差估计还有不少研究成果.