牛顿-科茨公式

英文

Newton-Cotes rule

简介

一类最基本的内插求积公式.指在有限区间[a，b]上求积节点等距、权函数w(x)≡1的内插求积公式

∫^b_af(x)dx≈A_kf(x_k)，

其中x_k＝a+kh (k=0，1，…，n)，

h=，

A_k＝(b-a)C⁽ⁿ⁾_k，

C⁽ⁿ⁾_k＝ ∫ⁿ₀dt

　 = ∫ⁿ₀(t-j)dt.

通常称C⁽ⁿ⁾_k(k=0，1，…，n)为科茨系数，它们与积分区间无关.下表是科茨系数表

　　从上表中可看出：当n≤7时，科茨系数均为正数;从n=8开始，科茨系数有正有负，这样的求积公式在计算上会带来较大的误差.因此n≥8时的牛顿-科茨公式在计算实践上不被采用，常用的是n≤4时的牛顿-科茨求积公式.

注意，在牛顿-科茨公式中，求积区间[a，b]的两个端点都是求积节点，而且其他求积节点都在(a，b)内，故称这样的牛顿-科茨公式为闭型牛顿-科茨公式.牛顿-科茨公式的求积误差，当n为奇数，且f(x)∈Cⁿ⁺¹[a，b]时，有

　E(f)=c_nhⁿ⁺²f⁽ⁿ⁺¹⁾(η) (a<η<b)，

　c_n＝ ∫ⁿ₀t(t-1)…(t-n)dt;

当n为偶数，且f(X)∈Cⁿ⁺²[a，b]时，则

　E(f)=c′_nhⁿ⁺³f⁽ⁿ⁺²⁾(η) (a<η<b)，

　c′_n＝ ∫ⁿ₀t²(t-1)…(t-n)dt.

由此易知，当n为偶数时牛顿-科茨公式的代数精度为n+1.