食品百科

1.3.3 流体流动的物料衡算和能量衡算

2023-02-14

在食品加工过程中涉及各种物料,有固状、膏状、液状,在此只讨论液状的。这些 物料在加工工艺过程中的不同阶段又有不同称谓,在整个加工过程中分:原料量、辅 料量、半成品量、成品量及副产品物料量等。基于质量守恒定律,物料的质量通过物 理方法加工是不会增加或减少的。同样在工艺过程中能量也是不能自行产生,也不 会自行消失的,只能从一种形式转变成为另一种形式,在能量相互转换的过程中,遵 守能量守恒定律。

1.3.3.1 流体流动的物料衡算

基于质量守恒定律,物料衡算基本关系式可用下式表述:

∑G1-∑G3=∑G2 (1-26)

式中 ∑G1–进料量

 ∑G2–积累量

 ∑G3–出料量

图1-15 截面不同的管道

(1) 稳定流动时的物料衡算 在食品生产过程 中,作为流体物料的输送大都是在稳定的条件下,在 管道中作稳定流动。如果在管道输送过程中,流体 没有添加或泄漏时,管道各截面的质量流量应相等。 如图1-15所示,流体通过截面大小不同的管道,并 截取不同截面1-1和2-2,根据质量守恒定律,各 截面的质量流量可用下式表述:

qm1=qm2=qm=常数 (1-27)

式中 qm1–截面1-1处的质量流量,kg/s

 qm2–截面2-2处的质量流量,kg/s

也可用下式表示:

u1A1ρ1=u2A2ρ2=uAρ=常数 (1-28)

式中 u1、u2–管道截面1-1与2-2处的流速,m/s

 A1、A2–管道截面1-1与2-2处的截面积,m2

 ρ1、ρ2–管道截面1-1与2-2处的流体密度,kg/m3(流体不变时ρ1=ρ2)

对不可压缩流体的液体,密度不变,则上式可写成:

u1A1=u2A2=qv=常数 (1-29)

即流体流速与管道的截面积成反比。

食品加工中,流体输送管道一般多为圆形管道,设d1、d2分别为管道截面1-1和 2-2处的内径,则:

式(1-30)可写成:

u1d12=u2d22=ud2=常数   (1-30)

     (1-31)

上式说明液体在管道中的流速与管道内径的平方成反比。

如果管路上有分支,如图1-16所示。根据质量守恒定律,总管中的质量流量为各分 支管道质量流量之和。

[例1-2]如图1-17所示,一水泵吸程管的管径为φ76mm×4mm,吸程流速为1m/s, 泵出口管管径为φ57mm×3.5mm,试求水在泵出口管道中的流速。

解: 已知:d1=76-4×2=68mm

     d2=57-3.5×2=50mm

     u1=1m/s

由式1-31求得:

即水在泵出口管道中的流速为1.85m/s

图1-16 分支管路

图1-17 水泵输送流体稳定流

(2) 流体不稳定流动的物料衡算 基于上述所示的物料衡算基本关系式(1-26),对 于上述图1-14(2)所示的不稳定流动情况,排水过程中,罐内的水面不断下降,排水的速 率也不断下降,所以在整个排水过程中,出料量和积累量都是随时间而变的变数。因此, 公式(1-26)所表达的内容,就不适于任一瞬间的情况,而是表达不稳定过程在一段时间 范围内的总结果。对于不稳定过程,应以微分时间dt为依据,然后用积分求得一段时间 范围内的变化,因而可用如下表述式(式中“′”表示一阶导数):

G1′dt-G3′dt=dG2′ (1-32)

式中 G1′–瞬时进料速率,G1为进料量

   G3′–瞬时出料速率,G3为出料量

   dt –微分时间

   G2′–衡算范围内的积累物料量

上式也可写成:

     (1-33)

式(1-32)表示在微分时间dt内,进料量与出料量之差等于此时间内物料量的变化 (即积累量)。式(1-33)则表示进料速率与出料速率之差 等于衡算范围内物料量随时间而变的变化率。

[例1-3]如图1-18所示,某圆罐直径(D)为1m,高 (H)为2.5m,内盛液体深(h)为2m,若在罐底开一直径 (d)为3cm的小孔,且已知此孔的流量系数c=0.62,试求 将液体放尽所需的时间。

解: 从小孔放水的过程中,罐内水面不断下降,即h 不断减小,放水速率也就不断下降,此为一不稳定流动过 程,以水罐的截面积为A,小孔的截面积为A0,按照式(1- 32)作水的物料衡算:

图1-18 贮罐不稳定流放水

G1′dt-G3′dt=dG2

式中 进料量 G1′dt=0

 出料量

 积累量 dG2=Adh 于是得:

积分得:

式中  A–水罐的截面积,

 A0–放水孔的截面积,

 c –流量系数为0.62

 g –重力加速度,9.81m/s2

 h1–放水开始时水深,2m

 h2–放水终了时水深,0m

将各已知数代入上式,得放完水时间

1.3.3.2 流体流动的能量衡算

(1)流体流动的能量衡算 要知道对于食品加工过程所发生的各种形式的能量之间 转换的关系,就必须进行能量衡算。能量是不会自行产生,也不会自行消失,能量只能从 一种形式转换为另一种形式,但总的能量是不会增加或减少的,即在能量相互转换的过程 中,遵守能量守恒定律。

图1-19 液体稳定流系统

为讨论总能量衡算,设定一流体 稳定流动系统,如图1-19所示。在 图中任意选取截面1-1和2-2,并 任意选定基准水平面0-0。流体在 稳定的流动情况下,通过各种不同截 面积的管道,连续不断地进入截面 1-1,又连续不断地从截面2-2流 出。在两截面间装有一台泵向流体 作功,以及装有一个杀菌机向流体输入热能。截面1-1和2-2两处的流速为u1、u2,压 力为p1、p2,管道截面积为A1和A2,管道中心到基准水平面0-0的垂直高度为h1、h2。 在进行能量衡算之前,应该明确流体在流动过程中究竟涉及哪些能量?虽然物质具有的 能量形式很多,但在流体流动系统中,有些形式的能量是不存在或可忽略不计的,流体从 截面1-1流入系统所带入的能量有下列几项:

①热力学(内能)能: 热力学能是贮存于物质内部的能量。由物质的分子运动,分子 之间的相互吸引或排斥作用和分子内部的振动等而来。热力学能决定于流体本身的状 态,是流体的状态函数。以e表示单位质量流体的热力学能。对于质量为m(kg)的流体 流过截面1-1时所带入的热力学能为:

热力学能=me

②位能: 位能为流体在重力场中,相对高出某基准面而具有的能量。如图1-19中 截面1-1中心位置高出基准水平面h1(m)的m(kg)流体,其所具有的位能相当于将质 量为m(kg)的流体由基准水平面0-0提高到h1(m)的高度为克服重力所需做的功:

位能=mgh1

③动能: 动能为流体流动时,因有一定流速而具有的能量。流速为u1(m/s),质量 为m(kg)的流体所具有的动能为:

④压力能(静压能):在静止流体内部,任一点都有一定的静压力存在。同样,在流 动着的流体内部,任一处也有一定的 静压力存在。如图1-20所示,假如 在有液体流动的管道壁上开一小孔, 装一垂直细玻璃管,液体便会在玻璃 管内上升一定的高度,此上升液体的 高度,即为此处管内静压力的表现。 对于图1-19所示的管道流动系统, 当流体通过截面1-1进入系统时,由 于该截面处具有一定的压力p1(N/m2),截面外方就需要对此流体做一定的功,以克服此 压力的作用,才能将流体压入到系统中去。于是通过截面1-1的流体便带着与此相当的 能量进入系统。显然,对于通过截面2-2流出的流体,同样也有其相当的能量带出到截 面2-2的外方。流体所具有的这种能量称为压力能(静压能)或流动功。

图1-20 流动液体静压力的存在

通过截面1-1处质量为m(kg)流体,其体积为V1(m3),把流体压入系统的作用力 为F=p1A1(N),流体通过截面被推入时所经过的距离,根据功=力×距 离,则与此功相当的压力能为:

以上四项能为流体进入截面1-1所带入的能量,其和为:

由于流动系统是在稳定状态下流动,质量为m(kg)的流体自截面1-1流入而从截 面2-2流出。同样,由截面2-2流出时所带走的能量为:

此外,如图1-19所示,在截面1-1与2-2之间还连接有加热器,并安装有流体输 送机械(泵或其他设备)。如以每kg流体通过加热器所获得的热能量为Q(J/kg),通过流 体输送机械所获得的外加机械能量为E(J/kg)。根据能量守恒定律,m(kg)流体流入截 面1-1所具有的能量,加上在截面1-1到2-2之间的外加能量,应等于该体流出截面 2-2时所具有的能量,即:

将上式各项均除以m,且因(比体积),则得:

     (1-34)

或改写成

     (1-34a)

式(1-34)是单位质量流体稳定流动过程的总能量衡算式,也是流动系统的热力学第 一定律表达式。此方程所包括的能量项目比较多,但这些项目并不是在任何情况下都需 要全部加以考虑的,而要根据具体情况,进行具体分析,从而将某种能量忽略不计,以使方 程得到简化。

(1)

(2)

图 1-14 稳定流动和不稳定流动

(2) 流体流动的机械能量衡算 在管道内作稳定流动的流体,如无外功的影响和不 计流动时的摩擦损失的条件下,由实验得知,只依据系统所含机械能的各项(包括位能 gh、动能u2/2与压力能pv)来作系统的能量衡算,所得的结果大致是准确的。如果是可压 缩流体的流动,在类似的条件下,其出口端流体所具有的总机械能往往较入口端所具有的 为大,尤其在流动中有较大的压力降产生时,则两端流体所具有的能量相差更大。这是因 为流体在流动中因膨胀作了机械功。而系统所增加的机械功是由于消耗了流体的内能或 由外界吸入热能所致。假定流体的膨胀是可逆的,则此项膨胀功为pdv(J/kg),在作 系统的机械能量衡算时应予计入。此外,流体在管道内流动时,由于流体的内摩擦作用, 不可避免地要消耗一部分机械能,这部分机械能一般都转变为热能,致使流体的温度略微 升高,而不能直接用于流体的输送。实际上这部分机械能是损失掉了。因此必须在机械 能量衡算时加入流动的总摩擦损失∑hf(J/kg),于是得机械能量衡算式:

如果在流体流动系统的截面1-1和2-2间装有流体输送机械,对系统作的功为W (J/kg),则上式左边应加入此项,于是得:

或写成

     (1-35)

代入上式,可得

     (1-36)

式(1-36)是表示流体流动时机械能的变化关系,称为流体稳定流动时的机械能衡算 式。在使用此式时,需要结合流体流动过程的特性和有关流体的状态方程式(p-v-T 关系)来考虑,并按照不同情况计算 项。以下就不可压缩流体与可压缩流体分别 进行讨论。

①不可压缩流体:不可压缩流体的比体积v或密度ρ为常数,与压力无关,则式 (1-36)中的

故式(1-36)可写成

     (1-37)

假定流体流动时不产生摩擦(这种流体称为理想流体,实际并不存在),则∑hf=0,并 且又没有向系统加入外功,即W=0,式(1-37)可简化成:

     (1-38)

     (1-38a)

式(1-38)、(1-38a)称为柏努利方程。

②可压缩流体: 气体在流动过程中,若通过所取系统两截面间的压力变化小于原来 压力的20%时,项中的ρ,可用气体的平均密度 ρm来代替,即,于是式(1-36)可改写成

     (1-39)

将式(1-38)应用于可压缩流体,如需要考虑流体的可压缩性对的影响,也就是必须根据过程的特性(等温、绝热或多变),按照热力学方法处理。一般这一 项,常按理想气体在不同情况下加以计算。这样计算得的结果,对于大多数情况可应用于 非理想气体,而所引起的误差一般是允许的,兹按以下情况分别讨论。

a. 等温过程:对于等温过程来说,pv=p1v1=常数,式中下标1表示过程开始的情况。 因此

     (1-40)

b. 绝热过程: 按照可逆绝热过程pvγ=常数的特性,可计算出这一项。 故

将上式积分得:

     (1-41)

式中,γ=cp/cv为气体的比定压热容cp与比定容热容cv之比。

c. 多变过程: 一般地说,气体状态发生变化时的条件,既非等温,亦非绝热,此称为 多变过程。在可逆过程中,压力和体积的关系可以近似地用pvk=常数这一形式来表示, 式中k是一个取决于气体与外围间的传热情况的数值。通常k是在1与γ之间;但是在 某些特殊情况下,可以在这范围之外。多变过程的状态方程式为:

     (1-42)

(3) 柏努利方程的讨论

①比较式式(1-37)与式(1-39),两式基本一致,是流体(包括液体和气体)输送过程 的能量衡算式。即通常按不可压缩流体能量衡算式的形式来运算,是最常用的柏努利方程的 形式,是以每单位质量为核算基准的流体流动的机械能衡算式,式中各项的单位均为J/kg。

②当流体在管道内稳定流动,假如无摩擦损失发生,又没有向系统施加外功,则式 (1-38)中的∑hf=0,W=0,于是式(1-40)可写成

     (1-43)

从上式可明显地看出,流体在管道任一截面上的各项机械能量之和相等,即总机械能 量为一常数,但在各截面上的每一种机械能量并不一定相等,当流体通过的管道截面的大 小或位置的高低发生变化时,各项能量之间是可以相互转换的,而其总机械能量仍为常 数。例如,某种液体在水平管道中稳定流动时,若在某处管道的截面积缩小,则流速增大, 即一部分压力能转变为动能;反之,当另一处管道截面积增大,流速就减小,一部分动能又 转变成为压力能。

③柏努利方程中,由于摩擦而引起的能量损失∑hf具有重要的意义,将在下节中专 门讨论。但必须指出,∑hf的数值永远是正值。

④输送单位质量流体所需加入的外功W,是决定流体输送设备的重要数据。如果 被输送流体的质量流量为qm(kg/s),则输送设备需对流体供给如下的有效功率:

P=W·qm   (1-44)

P的单位为J/s。

实际上应考虑流体输送设备的效率,以符号η表示流体输送设备的效率,则实际消 耗的功率(即输入功率)为:

     (1-44a)

⑤如果所讨论的系统没有施加外功,则W=0。又如系统里的流体是处于静止状 态,则流速u=0,即没有流体流动,不会有摩擦损失即∑hf=0。此时柏努利方程可写成:

上式即为前述的流体静力学基本方程。由此可见,流体的静止不过是流体运动的一个特殊形式。

[例1-4]若敞口贮液槽内液位高度h维持不变,液体 从槽底的小孔流出,如图1-21所示,小孔的截面积A0,试求 由小孔排液的流速与流量(假设流体摩擦损失忽略不计)。

解: 取贮液槽的液面为截面1-1,底部小孔处的截面 为截面2-2

以水槽底面为基准面列出截面1-1和2-2间的柏努 利方程(摩擦损失不计,在截面1-1和小孔处流出时的压 力都为大气压Pa)

图1-21

由题知 h1=h,h2=0

又因u2比u1大得多,可认为u1≈0

将已知各值代入方程中得:

图1-22

1-脱气缸 2-泵 3-换热器 4-高位贮槽

由小孔排液的流速

则由小孔排液的流量

由此题显然可见,u2或v与成正比。 此处的即表示截面1-1处流体的位能转化为截面2-2处的动能。

[例1-5] 如图1-22所示,一果汁 输送系统,果汁用泵由脱气罐抽出经换 热器送至高位贮槽。基准水平面选择泵 的水平进料管道中心线截面0-0。脱气罐的液位面截面1-1距基准平面高为h1=2m, 送至高位贮槽进口管截面2-2,高度h2=10m。脱气罐内真空度为660mmHg,果汁输送量 6t/h。整个管路摩擦损失为50J/kg,为简化运算将果汁相对密度视为1,试求泵所需功率。

解:应用能量衡算式(1-39)

式中 h1=2m;h2=10m,∑hf=50J/kg,p2-p1=660mmHg=660×133=87800N/m2, ρ=1000kg/m3

将其代入上式

⑥应用柏努利方程的几点注意事项

a. 作图: 为了使计算系统清晰,有助于正确计算,在计算前先根据题意画出流程示 意图,并将主要数据列于图中。

b. 截面选取: 截面应是与流体流动方向垂直的,在选取时须注意到要便于求解。因 此,所选的截面应是已知条件最多的面,并应将要求的未知数包括在所选截面构成的流动 系统中。通常选取流体进出口两端的截面。

c. 基准水平面的选取: 由于等号两边都有位能,故基准水平面可以任意选取而不影 响计算结果,但为计算方便,一般可取基准面通过选定系统中的一个截面中心,则该截面 处的位能为零。

d. 单位必须一致: 方程中每项的单位必须一致,计算都是用SI单位制。要注意压 力的单位。由于等号两边都有压力能,故压力用绝对压或表压都可以,在工程上多用表 压,不论用哪种单位,都必须统一。