可构造集全域

英文

universe of constructible sets

简介

一种可构造集模型.美籍奥地利数学家哥德尔(Go¨del，K.)用于证明连续统假设与选择公理的相容性所构造的ZF系统模型，也是ZF系统的最重要的内模型.令Def(x)表示通过对x及x的元素进行有限次哥德尔运算所能得到的x的全部子集，即

Def(x)=cl(x∪{x})∩P(x)，

其中cl(M)表示M的哥德尔闭包，称Def(x)为x的可定义幂集.对任意序数α，递归定义集合L(α)如下，L(0)=0;L(α+1)=Def(L(α));当α为极限序数时，

L(α)=L(β).

则称

L=L(α) (On表示序数全域)

为可构造集全域，L中的元素称为可构造集.可构造集全域最初由哥德尔于1938年构造，上列定义方式是他在1940年给出的.戴夫林(Devlin，K.)利用模型论术语重新给出了可构造集的概念，目前流行的方法是通过形式化集合上的n元可定义子集来定义可定义幂集.哥德尔于1938年证明可构造集全域L具有下列基本性质：

1.L为ZF系统的模型.

2.L满足可构造性公理，即L⊨V=L.

3.若M为ZF系统的可传模型且包含所有序数，则L⊆M.在L中不仅V=L，GCH(包括CH)及AC成立，许多组合原则，如◇，◇⁺，W，□等及大量大基数性质、拓扑性质在L中也成立，因此L是ZF系统的最重要的内模型之一.另外，用来构造L的序列〈L(α)：α∈On〉也具有非常重要的性质，这些性质在公理集合论中具有非常广泛的应用.通常称〈L(α)：α∈On〉为可构造分层，它具有下列性质：

1.对任何序数α，L(α)⊂R(α).

2.L(α)对ZF系统的任何可传模型绝对.

3.若ψ为ZF—P(P为幂集公理)的任何有限条公理的合取，则对任何ψ的可传模型M，L^M⊂M.

类似于集合秩的概念，利用可构造分层可定义可构造集的L秩：对任何x∈L，令ρ(x)为使x∈L(β+1)成立的最小序数β，称之为x的L秩.L秩反映了可构造集所在的构造层次，它是研究可构造集的重要工具.