上图收敛性

英文

epigraph convergence

简介

最优化逼近理论中的收敛性质.Rⁿ上函数f的上图是指Rⁿ⁺¹中的集合：epi f={(x，α)|α≥f(x)}.若给定epi f，则可完全确定这个函数，即f(x)=min{α|(x，α)∈epi f}.因此，集合epi f的性质与函数f的性质有着决定性的联系：f为下半连续函数当且仅当epi f为Rⁿ⁺¹中的闭集;f为凸函数当且仅当epi f为凸集.根据函数与它的上图之间的一一对应关系，可用上图序列的收敛性来研究函数序列的收敛性，而上图序列的收敛性即是集合序列的收敛性.

有如下相关的理论：如果

称集合序列{S_i}收敛于S，这时记为

S_iS或S_iS，

其中lim inf S_i＝{x|存在{x_i}使得x_i→x，且除了有限多个i外都有x_i∈S_i}，lim sup S_i＝{x|存在子序列{x_ik}使得x_ik→x，且x_ik∈S_ik}.对于lim inf S_i与lim sup S_i，下面的关系式成立：

lim inf S_i＝cl(cl S_i)，

lim sup S_i＝cl(S_i)，

式中clA表示集合A的闭包.对任何集合序列{S_i}，有

clcl S_i＝cl(S_i)，

cl(S_i)=cl(S_i)，

式中H为自然数集N={1，2，…}的子集，K为N的下列形式的子集的全体：{k|k∈N，k≥n}(n为某一自然数)，N为N的所有无限子集的全体.对任一序列{S_i}，lim inf S_i和lim sup S_i均为闭集.对任何集合序列{S_i}，包含关系lim inf S_i⊂lim sup S_i成立.

若有lim sup(epi f_i)⊂epi f⊂lim inf(epi f_i)，则称函数序列{f_i}上图收敛于f，记为f_if.这时，

(epi f_i)epi f，

并称f为{f_i}的epi极限.如果

1.对任一x和任一收敛于x的序列{x_i}，有

lim inf f_i(x_i)≥f(x)，

2.对任一x，总存在收敛于x的序列{x_i}，使得

lim sup f_i(x_i)≤f(x)，

则函数序列{f_i}上图收敛于f.

无约束最优化问题的逼近理论是：设有一系列极小化问题Z= f(x)，　Z_i＝ f_i(x) (i=1，2，…)，其中f_i (i=1，2，…)为一族下半连续函数，且f_if，则

其中Arg min f={x|f(x)=Z}.若Arg min f为非空集合，Z为有限数，则Z≥lim sup Z_i;若进一步有收敛序列{x–_i}，x–_i∈Arg min f_i，x–_i→x–，则 Z_i＝Z.设f_if，且存在一个紧致集合D，使得对每一i，Arg minf_i∩D非空，则必有lim Z_i＝Z.

约束最优化问题的逼近理论是：设minf(x)，s.t. x∈S⊂Rⁿ，则它等价于无约束最优化问题

F(x)=[f(x)+φ_S(x)]，

式中

此问题的近似问题为

式中集合序列{S_i}在某种意义下收敛于S;或

式中函数序列{f_i}在某种意义下收敛于f.设问题(1)与(2)中的f为连续函数，

S_iS，

则F_i(x)F(x)，式中，

F_i(x)=f(x)+φ_Si(x)，

F(x)=f(x)+φ_S(x).

设f_i→f，S为丰满闭集(即S=cl(int S))，f为连续函数，则F_i(x)→F(x)，式中F_i(x)=f_i(x)+φ_S(x)，F(x)=f(x)+φ_S(x).

上图收敛性是指：若f是函数序列{f_i}的epi极限，则f一定是下半连续函数.设f_if，且所有f_i为凸函数，则f亦为凸函数.

凸函数f在点x–∈Rⁿ处的次梯度的集合∂f(x–)称为次微分，定义为∂f(x–)={v∈Rⁿ|f(x)-f(x–)≥v(x-x–) ᗄx}，故次微分函数∂f(x–)为集值函数，它的图形G(∂f)定义为G(∂f)={(x，v)|v∈∂f(x)}.有下面的结果：设{f_i}为凸函数序列，则f_if当且仅当

G(∂f)= G(∂f_i).

设对任一x，序列{f_i(x)}单调收敛于f(x)，式中f为下半连续函数，则{f_i}上图收敛于f;反之，若{f_i}为单调序列，f_if，则{f_i}亦依点收敛于f.