凸函数

英文

convex function

简介

凸集上满足特定条件的一类函数.设S是线性空间中的凸集，f是S上的实值函数.若对任何实数α∈(0，1)和S中的任意两点x¹和x²，恒有f(αx¹+(1-α)x²)≤αf(x¹)+(1-α)f(x²)，则称f是S上的凸函数.若对α∈(0，1)和任意两个不同点x¹，x²∈S，恒有f(αx¹+(1-α)·x²)<αf(x¹)+(1-α)f(x²)，则称f是S上的严格凸函数.在20世纪初，赫尔德(Ho¨lder，O.L.)和延森(Jensen，J.L.W.V.)奠定了凸函数的理论基础.

凸函数的主要性质有：

1.若f为定义在凸集S上的凸函数，则对任意实数β≥0，函数βf也是定义在S上的凸函数;

2.若f₁和f₂为定义在凸集S上的两个凸函数，则其和f=f₁+f₂仍为定义在S上的凸函数;

3.若f_i(i=1，2，…，m)为定义在凸集S上的凸函数，则对任意实数β_i≥0，函数β_if_i也是定义在S上的凸函数;

4.若f为定义在凸集S上的凸函数，则对每一实数c，水平集S_c＝{x|x∈S，f(x)≤c}是凸集.