超调和函数

英文

hyperharmonic function

简介

在任意点的值不小于以该点为中心的球面上的平均值的函数.设D是Rⁿ(n≥2)的开集，f是D上的下半连续函数，若存在r₀>0，使任何r∈(0，r₀)和x∈D，恒有

其中ε^(r)＝ε^(r)₀，ε^(r)_x表示单位正质量在球面

上的均匀分布(因而上式中的积分表示f在S(x，r)上的平均值)，则称f在点x超调和.若f在D内处处超调和，则称f在D内超调和.上式ε^(r)，ε^(r)_x可分别改为单位正质量在S(0，r)，S(x，r)界定的球内的均匀分布m^(r)与m^(r)_x.当μ≥0时，U^μ_l与U^μ_α(2≤α<n)分别是R²与Rⁿ内的超调和函数.

D内超调和函数全体U成为一个凸锥，即f，g∈U，α，β≥0蕴涵αf+βg∈U(假定0·(+∞)=0);U关于有限子族U′的下包络运算封闭，即

但若U′为无限子族则未必成立;若子族U′为上定向集，即f，g∈U′蕴涵存在h∈U′使h≥f，h≥g，则

对闭包含于D的开球B内的、以f∈U为边界值的泊松积分H_f，则f≥H_f在B内成立;进一步，若把f在B内的取值换成H_f，所得函数仍在U中.