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formalist school
简介
数学基础中的学派之一.形式主义派数学观的核心思想有两条：
1.无论是逻辑的或数学的公理系统，其中的基本概念和公理都是一行行毫无意义的符号.形式主义者库赖(Curry)指出：“形式主义者关于数学的定义是这样的，数学是关于形式系统的科学.”而形式主义者美国数学家科恩(Cohen，P.J.)则更认为，数学只是“一种纯粹的、在纸上的符号游戏”.
2.数学的真理性等价于数学系统的相容性.因此，“无矛盾性在形式主义者那里便成为对于数学系统的惟一要求”.
形式主义观点的形成和发展，一方面来自希尔伯特规划和形式化研究方法走向极端，另一方面也导源于非欧几何的出现而引起的关于数学真理性的争论.当时，由于两种互相矛盾的几何系统得以互为相对相容，从而人们提出关于数学真理性体现在何处的问题.有的人认为几何的真理只在于“如果这些公理是真的，那么由它演绎出来的定理成立”这样的蕴涵式，如此等，说法不一.而形式主义者在这场争论中所形成的基本观点，就是几何的真理性体现在几何系统的无矛盾性上.
形式主义者的无穷观正如形式主义者鲁宾孙(Robinson)所说的：“我关于数学基础的主张建立在以下两个主要观点上：其一，无论从无穷整体这一名词的哪一种意义来说，无穷整体都是不存在的(即真实的无穷不存在，理想的无穷也不存在).更严格地说，就是关于无穷整体的任何讲话或意谓实际上都是没有意义的.然而，其二，我们还是应该如通常那样去从事数学活动，即我们做起来就好像无穷整体是存在的那样.”在此，还应提及形式主义派与现代柏拉图主义派关于数学实无限性在柏拉图哲学意义上的实在性的争论.柏拉图主义者是承认那种具有任意大基数的超穷集合在哲学意义上的实在性的，只要它们能通过适当的公理予以定义.但形式主义者则如上所见，基本上继承了德国数学家希尔伯特(Hilbert，D.)的无穷观.
希尔伯特对理想数学的相容性证明仅仅是相容性证明，并没有给理想数学增添任何真理性.希尔伯特的数学真理性只存在于有限性之中.当然，希尔伯特也曾有过片面强调形式的倾向.例如，他说过：“数学思考的对象就是符号本身，符号是这个思考的本质，它们不再代替理想化的物理对象.”终然如此，希尔伯特“绝不是一个狂热的、彻底的形式主义者”.形式主义数学真理观与希尔伯特数学真理观是不相同的.人们对形式主义派的一般评论如下：
1.一般认为，数学的真理性仅表现在数学系统无矛盾性的观点是不足取的.固然真理不应有矛盾，但不自相矛盾的却未必是真理.例如，微积分理论基础的建立进行了几百年，无限集理论一开始就陷入了矛盾，而它们恰恰都是在不相容之中发展壮大起来的.所以，不能把相容性视为真理性的惟一标准.
2.公理化与形式化的研究方法本来是一种进步，但把形式化的高度抽象引向极端，片面夸大，直至视数学理论为符号的游戏的观点也是不足取的.亦即“形式主义者反对在数学的任何部分放进客观内容，而从他们自己的假定出发，就必然地反对历史上确定的那些数学领域的重要性及其内容”.试问“一个关于无意义的符号游戏，如何能对物理世界的过程具有内在的重要关系呢”?