英文
paradoxes
简介
一种自相矛盾的命题.关于悖论的定义，当前流行的说法，有如“悖论是一种导致逻辑矛盾的命题.这种命题，如果承认它是真的，那么它又是假的;如果承认它是假的，那么它又是真的”.或如“一个命题构成一个悖论，如果由它的真可以推出它的假，而由它的假又可以推出它的真”.诸因此类的定义法，有它合理的一面，也有不够全面的地方.因为：
1.任何一个悖论在实质上都是相对于某个理论系统而言的.
2.并非每个悖论都要陈述为一个命题或某一语句的形式，有的悖论往往以一个推演过程来表现.
3.人们并不习惯于一定把每个悖论都化归为肯定与否定的等价式，也可用某个系统中并存的两个互相矛盾的命题来表述一个悖论.
德国学者弗伦克尔(Fraenkel，A.A.)曾对悖论给出了一个较为全面而合理的定义：“如果某一理论的公理和推理原则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式.那么人们就说该理论系统中出现了一个悖论.”应该指出，在弗伦克尔的这一陈述中，不只是指明了任一悖论总相对于某一系统，同时还特别强调了该系统的公理和推理原则“看上去是合理的”.因此，对那种把一些明显矛盾的命题凑合起来的不合理系统，是谈不上包含或不包含悖论的.
关于悖论的起源，可以追溯到古希腊和中国先秦哲学时代，但那时及其后的一个历史阶段，悖论往往泛指那些推理过程看上去是合理的，但推理的结果却又违背客观实际.例如，古希腊哲学家芝诺(Zeno，(E.))关于运动的四个悖论便是这一类悖论.如其中之第二个悖论称为阿基里斯悖论，讲的是希腊神行太保阿基里斯和乌龟赛跑，但跑得最快的阿基里斯永远追不上爬得最慢的乌龟.论述如下：设A跑的速度远比B快，但B比A先行一段距离，A为了赶上B，必须先到达B的起点R1，但当A到R1点时，B已前进到R2点，又当A再到R2点时，B又已前进到R3点，因此往复，以至无穷，A便永远追不上B了.当然，今天以无穷级数理论已能对此做出解释，但在此以前的历史阶段中是难以对此推理与现实之矛盾做出完满解释的.被称之为悖论.
此外，还有另一种情况而被称为悖论的，那就是由于新观念的引入而矛盾于囿于历史局限的传统观念.例如，意大利科学家伽利略(Galilei，G.)对“平方数与自然数一一对应”的发现而矛盾于“全体大于部分”的传统原则，当时即被称为伽利略悖论.当然，后来人们已做出如下的解释;即“全体大于部分”这一直观原则是在有限数量的事物关系中的抽象出来的，因而不适用于无限性对象的情况.公元前6世纪，克里特哲学家伊壁门尼德斯(Epimenides)断言：“所有克里特人所说的每一句话都是假话”.试问这句话是真还是假.若设其为真，则因这句话也出于克里特人之口，故按这句话的结论应导致其为假.但若设其为假，却并不能导致其为真.后来，到了公元前4世纪，欧布里德(Eubulides)提出撒谎者悖论：“我现在所说的是假话”.这就构成了由其真而可导致其为假，并由其假而又可导致其为真了.后来，人们又构造了等价于欧布里德命题的永恒性撒谎者悖论：“在本页本行里所写的那句话是假话.”由于上一行里除了这句话本身之外，别无其他的话.故设该话为真，则要承认该话之结论，因而导致该话为假话.若设该话为假，则应肯定该话结论之反面为真，因而推出该话为真.因此，这是一个悖论.这样，悖论渐趋形成它的现代形式.波兰学者塔尔斯基(Tarski，A.)还对此永恒性撒谎者悖论进一步概括，并给出一个严格的表述形式如下：
1.按照“命题为真”的含义，有这样的原则：X是真的，当且仅当P.这里P是任意一个命题，而X是这一命题的名称.
2.考虑命题：“C不是真的”.用符号C来表示该命题.于是应有：“C不是真的”等同于C.
3.由形式1知“C不是真的”是真的，当且仅当C不是真的.
由形式2和3可知：C是真的，当且仅当C不是真的.矛盾.