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简介
量度拓扑空间性质的一个整数.设M为可微流形，A为M的任意闭子集，若A能被m个可缩闭集所覆盖但不能被m-1个这样的集所覆盖，则称A在M中的畴数为m，记为cat(A)=m.畴数是一个拓扑不变量.为估计紧流形M上的函数f的临界点个数有下界cat(M)，柳斯捷尔尼克(Люстерник，Л.А.)和施尼雷尔曼(Шнирельман，Л.Г.)引进下列重数定理：设
cn＝
{
f(x)} (n=1，2，…)，
则当c=cm+1＝…=cm+k时，f的以c为临界值的临界点集K0有畴数cat(K0)≥k.前面例子中的环面的畴数是3，所以环面上的任意可微函数至少有3个不同的临界点.柳斯捷尔尼克-施尼雷尔曼理论较莫尔斯理论适用范围宽.例如，它所要求的函数f的临界点不必非退化，但有时畴数的估计比较困难.
阿姆布罗塞蒂(Ambrosetti，A.)和拉比诺维茨(Rabinowitz，P.H.)发展了柳斯捷尔尼克和施尼雷尔曼的思想，并于1973年提出了山路引理：设f是巴拿赫空间X上的一个满足帕莱斯-斯梅尔条件的C1函数，又设有θ的一个开邻域U与一点x0∉U，使得
f(θ)=f(x0)=0， f|∂ U≥α>0，
则f至少有一个临界值c≥α.随后，拉比诺维茨又提出一系列极小极大原理，对许多由方程引出的变分问题的解的存在性以及系数估计有广泛的应用.特别是对哈密顿方程组周期解的存在性以及周期轨道个数的估计，引出重要的结果.