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联合(同时)逼近

英文

simultaneous approxima-tion

简介

同时逼近函数及其导数或用一个函数同时逼近多个函数的逼近.同时逼近函数及其导数的问题是可解的.设f∈C有r阶连续导数,则有不高于n阶的三角多项式tn(x),使得

同样,对f∈C[-1,1],如果f有r阶连续导数,则有不高于n次的代数多项式Pn(x),使得

其中Cr是仅与r有关的正数.En(f)(E*n(f))是n次(阶)代数(三角)多项式对f的最佳逼近值.

用一个函数同时逼近几个函数或一列函数的概念有多种提法.对[-1,1]上的可测函数f,记

而使‖f‖p<+∞的函数全体记为Lp,这里0<p≤+∞.当p=+∞时,常理解为f∈C[-1,1],‖f‖=‖f‖.设有Lp的一个子集S,对于Lp中的一列函数f1,f2,…和一列数λj≥0,满足条件:

λj=1, λjfj∈Lp.

如果存在s*∈S使得

‖fj-s*p‖fj-s‖p

|fj(x)-s*(x)|‖p

|fj(x)-s(x)|‖p

λj‖fj-s*ppλj‖fj-s‖pp

 ‖λj|fj(x)-s*(x)|‖p

λj|fj(x)-s(x)|‖p

则称s*为相应定义下的S对f的最佳联合逼近元,并称等式左边的值为相应意义下的最佳逼近值.自然有一个S的取法,以及在S取定下的s*的存在性、惟一性及其特征等定性问题.亦有由函数fj(x)的性质来估计最佳逼近的定量问题.