英文
index theory
简介
畴数理论在T(G)不变泛函情形的变种形式.设G是紧拓扑群，X是T(G)空间，Σ={A⊂X|A是T(G)不变闭集}.若函数i：Σ→Z+∪{+∞}满足下述条件：
1.平凡性.i(A)=0⇔A=∅.
2.单调性.A，B∈Σ，A⊂B⇒i(A)≤i(B).
3.次可加性.ᗄA，B∈Σ，
i(A∪B)≤i(A)+i(B).
4.超变性.若A∈Σ，h=η(·，1)，η：[0，1]×X→X是T(G)等变形变，则i(
)≥i(A).
5.连续性.若A∈Σ，A紧，则存在A的某个闭邻域N∈Σ，使得
i(N)=i(A)，
则称i为X上的一个T(G)指标.
若指标i还具有性质：
6.规范性.ᗄp∈X.若[p]∩FixG＝∅，则i([p])=1，其中
则称指标i是规范的.若存在正整数d，使对X的dk维T(G)不变子空间Vdk(k=1，2，…)， 只要
就有i(Vdk∩S1)=k，其中S1为X中的单位球面，则称指标i具有d维数性质.
类似于畴数理论，有下述指标意义下的重数定理：设M是X中的T(G)不变闭子流形，f∈C1(M，R)满足(P.S)条件，i是X上的T(G)指标，记Σn(M)={A∈Σ|A⊂M，i(A)≥n}.令
cn＝
f(x)(n=1，2，…).
若对某正整数n与p，有
则c是f的临界值，且i(Kc)≥p.这时如果i是规范的，且Kc∩FixG＝∅，则Kc中至少含有p条不同的临界点轨道.
最常用到的指标是G=Z2与G=S1时的情形.作为指标概念的推广或变种，尚有伪指标.相对指标等多种概念.