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coincidence degree
简介
亦称重合度.为了讨论方程Lx=Nx的解，利用勒雷-绍德尔度来定义的一种度.这里L：dom L⊂X→Z是零指标的弗雷德霍姆线性算子，N：Ω⊂X→Z是非线性算子，X，Z是巴拿赫空间，Ω是X中有界开集.由假定可知，存在有限维子空间N0⊂Z与商空间Z/Im L同构，且存在连续投影算子P：X→ker L，Q：Z→N0满足Im P=ker L，ker Q=Im L，X=ker L⊕ker P，Z=Im L⊕Im Q.记KP：Im L→dom L∩ker P为L在dom L∩ker P上的限制的逆算子，并令KP，Q＝KP(I-Q)：Z→dom L∩ker P，这里I为恒同映射.设J：Im Q→ker L是一同构，并令HJ，P，Q＝JQ+KP，Q：Z→dom L.设N是L紧的(即QN：Ω→Z和KP，Q，N：Ω→X都是紧的)且0∉F(dom L∩∂ Ω)， 这里F=L-N.于是，易知HJ，P，Q＝I-A，其中A=P+JQN+KP，QN：Ω→X是全连续算子，且0∉(I-A)(∂ Ω)，故勒雷-绍德尔度deg(I-A，Ω，0)存在，它就定义为F在Ω上关于L的叠合度，记为DL(F，Ω).可证DL(F，Ω)与P，Q以及J(保持定向)的选择无关，并具有可加性、同伦不变性、可解性等性质.例如，可解性指的是：若DL(F，Ω)≠0，则Lx=Nx在dom L∩Ω中有解.叠合度是讨论非线性常微分方程边值问题的一个有力工具.