半单线性代数群不可约有理表示的分类

英文

classification of irreducible rational representations of a semisimple linear algebraic group

简介

一般指半单线性代数群不可约表示的同构分类.半单线性代数群的不可约有理表示的同构类与支配权是一一对应的.设G是半单线性代数群，T是G的一个极大环面，B是含T的博雷尔子群，Φ是G关于T的根系，Φ⁺是在B的李代数中出现的根的集合.在实空间E=X(T)_ZR上引进关于外尔群W不变的欧氏内积( ， )(若不计纯量因子，它是惟一决定的).若λ∈X(T)使得(λ，α)≥0对一切α∈Φ⁺成立，则称λ为T(关于B)的支配权，支配权全体所成的集合记为X(T)₊.若V是不可约有理G模，则V有惟一的一维B子模L，它所对应的T权是支配的.半单线性代数群不可约有理表示的分类定理断言：上述方法给出了半单线性代数群的不可约有理表示的同构类集合与X(T)₊之间的一个一一对应.常把λ∈X(T)₊所对应的不可约G模记为L(λ).若基域的特征数为0，则L(λ)是G的李代数的不可约模，并且它的形式特征标由著名的外尔特征标公式给出，即在群环ZX(T)中ch L(λ)=χ(λ)，而χ(λ)由公式

e^σρχ(λ)=e^σ(λ+ρ)

给出，其中ρ是Φ⁺中所有元素之和的一半.若基域的特征数大于0，则除了极少数非常简单的群外，不可约模的形式特征标的确定问题都是未解决的.目前，这是代数群表示理论中的头号难题.但是，不难证明：ch L(λ)可惟一地写成χ(μ)(μ∈X(T)₊)的整线性组合：

ch L(λ)=c_λμχ(μ).

鲁兹蒂克猜想：c_λμ是被称为卡芷当(Kazhdan)-鲁兹蒂克多项式的一组惟一确定的、具有非常好的性质的并可递归地求得的多项式在1的赋值.目前已知的例子和证据都支持这一猜想，但在它的证明上尚未有突破性的进展.