舒尔乘子

英文

Schur multiplier

简介

一类特殊的映射，是群的二次同调群.设G为有限群，A为任一阿贝尔群，用符号C²(G;A)表示G×G到A中的所有映射之集，在C²(G;A)中定义加法如下：对任意的(x，y)∈G×G，f，h∈C²(G;A)，规定(f+h)(x，y)=f(x，y)+h(x，y)，在此加法下C²(G;A)成为一个交换群.设B²(G;A)是由形为

f(x，y)=g(x)-g(xy)+g(y)

的f∈C²(G;A)所生成的子群，其中g为G到A的某一映射.再设Z²(G;A)是对任意x，y，z∈G满足：

的f∈C²(G;A)所生成的子群，从而，B²(G;A)≤Z²(G;A).设H²(G;A)=Z²(G;A)/B²(G;A)，称H²(G;A)为系数在A中的G的二次同调群.群H²(G;K^*)称为G的舒尔乘子，其中K^*是特征为零的代数闭域中非零元素所成的乘法群.当G为单群时，舒尔(Schur，I.)证明了G具有一个“泛”覆盖群G^，使得G的每一覆盖群是G^的同态像.而Z(G^)恰为G的舒尔乘子.