英文
Hahn-Banach extension theorem
简介
亦称线性泛函延拓定理.将线性子空间上的线性泛函延拓到整个空间的一个著名定理.设p(x)是线性空间E上的半范数，E0是E的线性子空间，如果在E0上定义的线性泛函f(x)满足|f(x)|≤p(x)，则能把f(x)延拓到全空间E上并使得上面不等式在E上仍成立.把此定理应用到赋范线性空间X有下列结论：
1.设M是X的线性子空间，则M上任何一个有界线性泛函都可保持范数不增大地延拓为X上有界线性泛函.
2.对任一非零向量x0∈X，存在X上的有界线性泛函f0，满足f0(x0)=‖x0‖，‖f0‖=1.
3.对X的任一闭线性子空间M及向量x0∈X/M，存在X上的有界线性泛函f0，使得f0(x0)>1，‖f0‖<d-1，且当x∈M时恒有f(x)=0，而
d=
‖x0-x‖(即x0到M的距离).
哈恩-巴拿赫延拓定理是泛函分析中的一个重要定理，它是研究对偶理论的主要工具，它保证了赋范线性空间的对偶空间是非平凡的.