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全纯二次微分

英文

holomorphic quadratic differ-ential

简介

一种特殊的二次微分式.在局部坐标z下表为ω=f(z)dz2且在局部坐标变换下不变的微分式.若f是点z的全纯函数,则称ω为Sg上的全纯二次微分式.由黎曼-罗赫定理可知:Sg上所有全纯二次微分的全体是6g-6维实的向量空间.利用非零全纯二次微分可做出Sg上的局部全纯坐标系,即所谓自然参数.其作法如下:设p∈Sg,z为p附近的局部坐标,z(p)=0,ω=f(z)dz2.若f(z(p))=f(0)≠0,则在原点附近

是单射,此处取为一单值分支,从而在p的邻域内q→ζ=Φ(z(q))是一局部全纯坐标.若p是ω的n阶零点,则存在以原点为中心的圆盘D(0;r),使得在其内f(z)=znψ(z),其中ψ(z)全纯且ψ(z)≠0.取定的一个单值分支;如n为奇数,则沿I={x|0≤x<r}切割D(0;r),然后取zn/2在D(0;r)/I中一个分支;如n为偶数,则无须切割D(0;r),总之,

是定义于D(0;r)/I的单值函数.可验证

是单值且在原点的导数不为0.从而

可作为p点附近的局部坐标.设0<k<1,ζ是Sg上某一非零全纯二次微分ω诱导的自然参数,令

易知ζ′满足局部坐标的相容性条件,因而ζ′可作为拓扑曲面Sg上的全纯坐标.由此产生一个黎曼曲面S′g及泰希米勒空间的一个点[S′g,T],其中T:Sg→Sg作为拓扑曲面Sg上的自同胚为恒等映射,T及[S′g,T]称为泰希米勒形变.