英文
holomorphic quadratic differ-ential
简介
一种特殊的二次微分式.在局部坐标z下表为ω=f(z)dz2且在局部坐标变换下不变的微分式.若f是点z的全纯函数，则称ω为Sg上的全纯二次微分式.由黎曼-罗赫定理可知：Sg上所有全纯二次微分的全体是6g-6维实的向量空间.利用非零全纯二次微分可做出Sg上的局部全纯坐标系，即所谓自然参数.其作法如下：设p∈Sg，z为p附近的局部坐标，z(p)=0，ω=f(z)dz2.若f(z(p))=f(0)≠0，则在原点附近
是单射，此处取
为一单值分支，从而在p的邻域内q→ζ=Φ(z(q))是一局部全纯坐标.若p是ω的n阶零点，则存在以原点为中心的圆盘D(0;r)，使得在其内f(z)=znψ(z)，其中ψ(z)全纯且ψ(z)≠0.取定
的一个单值分支;如n为奇数，则沿I={x|0≤x<r}切割D(0;r)，然后取zn/2在D(0;r)/I中一个分支;如n为偶数，则无须切割D(0;r)，总之，
是定义于D(0;r)/I的单值函数.可验证
是单值且在原点的导数不为0.从而
可作为p点附近的局部坐标.设0<k<1，ζ是Sg上某一非零全纯二次微分ω诱导的自然参数，令
易知ζ′满足局部坐标的相容性条件，因而ζ′可作为拓扑曲面Sg上的全纯坐标.由此产生一个黎曼曲面S′g及泰希米勒空间的一个点[S′g，T]，其中T：Sg→S′g作为拓扑曲面Sg上的自同胚为恒等映射，T及[S′g，T]称为泰希米勒形变.