英文
modular function
简介
一种在理论上极为重要的特殊的自守函数.例如，可用它来证明皮卡定理.设在z平面的单位圆周Γ上任意取定三点A，B，C(如图1)，过其中每两点做圆弧与Γ正交，在圆内形成一内接圆弧三角形ABC.将它用w=χ(z)
图1
图2
共形映射到w的上半平面.使A，B，C分别映为0，1，∞.利用对称原理，可将(圆弧)三角形越过AB弧对称反演成另一三角形ABD，而w=χ(z)就在w平面上越过线段[0，1]解析开拓到下半平面.如果对三角形ABC的各个弧都做反演，又对反演后的图形再对每一新三角形的新圆弧边反演，并对每一次反演将函数w=χ(z)解析开拓.如此一直继续下去，便可得z平面中单位圆内的解析函数w=χ(z)，其值域为w扩充平面.这函数是由这些反演所生成的群的自守函数，称为模函数.
圆弧四边形ABCD为其基本区域，且χ(z)就是该群的基本函数.当然，如把ABC改为上半平面的一个半带形，它由实轴上两点A，B出发在上半平面中做垂直于实轴的半射线和以AB为直径的上半圆周所围成(如图2)，仍将它共形映射到w的上半平面，并不断用对称原理将它解析开拓，则可得上半平面中的模函数，以上述半带形及它对半圆弧AB反演的圆弧三角形ADB合成其基本区域，此模函数也是基本函数.