子空间的直和

英文

direct sum of subspaces

简介

亦称子空间的直接和.子空间的一种特殊运算.设V₁，V₂是线性空间V的两个子空间，若和空间V₁+V₂中每个向量α都能惟一地分解为形式：

α=α₁+α₂ (α₁∈V₁，α₂∈V₂)，

则称和V₁+V₂为直和，记为V₁⊕V₂.对于线性空间V的两个子空间V₁，V₂，下列命题是等价的：

1.V₁+V₂是直和.

2.零向量的表示法惟一，即α₁+α₂＝0(α₁∈V₁，α₂∈V₂)，当且仅当α₁，α₂为零向量时成立，即零向量的表示法惟一.

3.V₁与V₂的交V₁∩V₂＝{0}.

4.dim(V₁+V₂)=dim V₁+dim V₂.

多个子空间的直和，可以类似地定义，并且对多个子空间的直和也有相应于上述1—4的等价命题，但对多个子空间，上述命题3需改写为

V_i∩V_j＝0 (i=1，2，…，s).