单值化定理

英文

uniformization theorem

简介

黎曼曲面理论中最基本最重要的定理.定理叙述如下：任一黎曼曲面必共形等价于下述典型曲面之一：

1.扩充复平面C^＝C∪{∞}.

2.复平面C.

3.穿洞的复平面C/{0}.

4.环面，即C/L，L={T(z)=z+n₁w₁+n₂w₂，n₁，n₂∈Z，Im(w₁/w₂)>0}，Z表示整数集.

5.单位圆对某个富克斯群G的商空间D/G.

单值化定理表明，大多数的情形下，黎曼曲面共形等价于单位圆D对某个富克斯群G的商空间D/G.因此R上的解析函数论等价于定义在D上的对某个富克斯群G自守的函数论.反之，整个黎曼曲面理论也能以这个特殊的表示为基础进行讨论.一个经典的问题是：给定一个D上的富克斯群G，是否存在非常数亚纯函数对于G是自守的，即黎曼曲面上是否存在非常数的亚纯函数.

庞加莱(Poincaré，(J.-)H.)具体构造Θ级数，后称为庞加莱级数，以此证明对给定的G是自守的函数的存在.闭黎曼曲面的一个重要定理是黎曼-罗赫定理，它给出闭黎曼曲面上亚纯函数构成的线性空间的维数.两黎曼曲面，如果存在映一个为另一个的共形映射，则称它们是共形等价的.关于闭黎曼曲面的模的黎曼问题称：亏格为g(>2)的闭黎曼曲面的共形等价类集合R_g构成3g-3维复流形.这方面基础性的工作是由弗里克(Fricke，R.)和泰希米勒(Teichmǚller，O.)所做.