英文
L∞ space
简介
亦称本性有界函数类.在一个零集之外有界的函数的全体.若E为Rn中的可测集,f(x)是E上的可测函数,且存在零集E0⊂E,使得f(x)在E/E0上有界,则f(x)称为E上的本性有界函数.这样函数的全体称为E上的L∞空间,记为L∞(E)或L∞.对f(x)∈L∞(E),定义f(x)的L∞范数为
‖f‖∞=(|f(x)|).
其中E0为E的零子集,下确界是对所有可能的这种子集E0而取的:
1.若{fn(x)}⊂L∞(E),则{fn(x)}在L∞(E)中收敛于f(x)等价于{fn(x)}在E上除一个零集之外一致收敛于f(x).
2.L∞(E)是巴拿赫空间.
3.L∞(E)不自反.
4.设m(E)<+∞,若f(x)∈L∞(E),则f(x)属于一切Lp(E)(1≤p<+∞),且
‖f‖∞=‖f‖p.
5.L∞空间是不可分的,关于“可分”详见本卷《泛函分析》同名条.