数学百科

L∞空间

2023-05-31

英文

L space

简介

亦称本性有界函数类.在一个零集之外有界的函数的全体.若E为Rn中的可测集,f(x)是E上的可测函数,且存在零集E0⊂E,使得f(x)在E/E0上有界,则f(x)称为E上的本性有界函数.这样函数的全体称为E上的L空间,记为L(E)或L.对f(x)∈L(E),定义f(x)的L范数为

‖f‖(|f(x)|).

其中E0为E的零子集,下确界是对所有可能的这种子集E0而取的:

1.若{fn(x)}⊂L(E),则{fn(x)}在L(E)中收敛于f(x)等价于{fn(x)}在E上除一个零集之外一致收敛于f(x).

2.L(E)是巴拿赫空间.

3.L(E)不自反.

4.设m(E)<+∞,若f(x)∈L(E),则f(x)属于一切Lp(E)(1≤p<+∞),且

‖f‖‖f‖p.

5.L空间是不可分的,关于“可分”详见本卷《泛函分析》同名条.