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Baire functions
简介
在研究函数连续性的基础上对函数进行分类的结果.具体分类方法如下：所有的连续函数称为“0类”函数;能表示成连续函数列的极限，但它本身不是连续函数的，则称其为“1类”函数;同样地，对于能表示成一列“1类”中函数的极限，而它不是“0类”或“1类”的函数，就称它是“2类”函数.类似地，可以定义“3类”、“4类”……以及任意“n类”函数.还可定义“ω类”函数(这里ω表示可列序数).用如上方法定义的各类函数统称为贝尔函数.例如，可微函数的导数如果不连续，就是1类贝尔函数.贝尔函数的主要性质有：
1.所有贝尔函数组成的集合具有连续统的基数，故贝尔分类并不包括所有的实函数.
2.在n维欧氏空间中，贝尔函数与波莱尔可测函数相同.
3.设｛fn(x)｝是E上的贝尔函数列.若
fn(x)=f(x) (x∈E)，
则f(x)也是E上的贝尔函数.
4.若f(x)是E上的α类贝尔函数，则对任意E0⊂E，f(x)是E0上的某个β(β≤α)类贝尔函数.
5.对于E上所属类数小于等于α的两个贝尔函数，其和、差、积、商(假定在E上有定义)也是E上的小于等于α类的贝尔函数.
6.若f(x)与g(x)是E上小于等于α类的贝尔函数，则max｛f(x)，g(x)｝，min｛f(x)，g(x)｝也是E上的小于等于α类的贝尔函数.
7.若f(x)是[a，b]上小于等于α类的贝尔函数，g(t)是[c，d]上小于等于β类的贝尔函数，且a≤g(t)≤b，则f[g(t)]是[c，d]上小于等于α+β类的贝尔函数.
8.若｛fn(x)｝是E上小于等于α类的贝尔函数列，且｛fn(x)｝在E上一致收敛于f(x)，则f(x)也是E上小于等于α类的贝尔函数.
9.若｛fn(x)｝是E上小于等于α类的贝尔函数列，且
fn(x)=f(x) (x∈E)，
则f(x)是E上小于等于α+2类的贝尔函数.
10.(勒贝格)设f(x)是定义在E=[a，b]上的函数，则f(x)为所属类数不大于1的贝尔函数的充分必要条件为，对任一实数α，｛x｜f(x)>α，x∈E｝与｛x｜f(x)<α，x∈E｝都是Fσ型集.
11.(贝尔)若f(x)是[a，b]上的1类贝尔函数，则对任一非空闭集F⊂[a，b]，f(x)在F上的限制f(x｜F)在F上必有连续点.
12.(贝尔)设f(x)是[a，b]上的函数，若对任一非空点集F⊂[a，b]，f(x)在F上的限制f(x｜F)在F上有连续点，则f(x)或为[a，b]上的连续函数，或为1类贝尔函数.
贝尔函数是贝尔(Baire，R.L.)于1899年提出的.