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Lebesgue measure
简介
集合的一种度量.它是线段长度、矩形面积和立体体积概念的推广，它只对于勒贝格可测集有意义.若E⊂Rn为勒贝格可测的，则E的勒贝格外测度称为E的勒贝格测度，记为m(E)或｜E｜.为了推广积分概念，勒贝格(Lebesgue，H.L.)于1902年在提出他的新型积分时，提出了这种测度概念.它是继若尔当(Jordan，M.E.C.)、波莱尔(Borel，(F.-É.-J.-)É.)之后提出的最有意义的一种测度，现代一切抽象测度的概念都是仿照它的模式建立的.勒贝格测度和可测集的主要性质有：
1.空集∅可测，且m(∅)=0，任何区间可测，且它的测度与长度(或面积、体积等)相等.
2.若E⊂Rn可测，则它的余集Ec＝Rn/E也可测.
3.若E1，E2可测，则E1∪E2，E1∩E2以及E1/E2均可测.
4.(可列可加性)可列个可测集Ei(i=1，2，…)的并集
Ei仍为可测集;若进一步有各Ei两两不相交时，则
m(
Ei)=
m(Ei).
5.若E1，E2可测，E1⊂E2，且m(E2)<+∞，则
6.若{En}是递增可测集合列，则
m(
En)=
m(En).
7.若{En}是递减可测集合列，且有n0使m(En0)<+∞，则
m(
En)=
m(En).
8.(关于正交变换和平移的不变性)若E⊂Rn为勒贝格可测集，O为Rn上的正交变换，对于x0∈Rn，记x0+E=｛x∈Rn｜x=x0+y，y∈E｝，则OE和x0+E都可测，且m(OE)=m(x0+E)=m(E).
其中的可列可加性和正交变换与平移下的不变性最为重要.前者是使勒贝格测度区别于若尔当和波莱尔的测度，并使勒贝格积分具有良好性质和重大理论意义的基础，也是一切抽象测度都具有的;而后者则是勒贝格测度区别于其他抽象测度的特征.