循环码

英文

cyclic code

简介

一类特殊的线性码.设C为q元[n，k]线性码，若(a₀，a₁，…，a_n-1)是C中的码字时它的循环移位(a_n-1，a₀，a₁，…，a_n-2)也是C中的码字，则称C为循环码.向量空间Fⁿ_q与剩余类环F_q[x]/(xⁿ-1)之间存在一个向量空间的同构对应.在这个同构对应下，q元[n，k]循环码C惟一确定了F_q[x]/(xⁿ-1)中的一个理想，每一个码字＝(a₀，a₁，…，a_n-1)惟一地对应于一个多项式a(x)=a₀+a₁x+…+a_n-1x^n-1，而码字(a_n-1，a₀，…，a_n-2)对应于多项式xa(x)(mod xⁿ-1).于是，q元[n，k]循环码可看做F_q[x]/(xⁿ-1)中的一个理想.设f(x)为码字，E是含n次本原单位根的F_q的扩域，若S={s∈E|f(s)=0}，称S为码字f(x)的根集.利用根集可以估计码字f(x)的重量，从而提供了计算循环码的极小重量的途径.归纳地定义E的某个子集族(这些子集称为S独立集)：

1.∈I.

2.若AS，且A∈I而bS，则A∪{b}∈I.

3.若A∈I且C∈E/{0}，则CA∈I.

范·林特(van Lint，J.H.)及威尔森(Wilson，R.W.)于1986年指出：若S是码字f(x)的根集，A为S独立集，则f(x)的重量不小于|A|.