k积和式 - 数学百科

英文

k-permanent

简介

矩阵积和式的自然推广.对任意m×n矩阵B=(b_ij)，称

per_kB=b_i₁j₁，b_i₂j₂，…，b_{i_kj_k} (k≥1)

为矩阵B的k积和式，这里，Pⁿ_k为集合{1，2，…，n}的所有k元子集排列的全体.约定，per₀B=1.当k>min(m，n)时，per_kB=0.设b=min(m，n)，当k=b时，B的b积和式称为矩阵B的上-积和式，记为per_上B=per_bB.设B_{(i₁，i₂，…，i_k)}表示由矩阵B的第i₁，i₂，…，i_k行依原顺序安排而成的k×n矩阵，由矩阵积和式定义：

per_kB=per(B_{(i₁，i₂，…，i_k)}).

定义矩阵B=(b_ij)的行和积

σ(B)=　b_ij;

记

σ^(k)_l(B)=σ(B_{〈i₁，i₂，…，i_k;j₁，j₂，…，j_l〉})，

这里(B_{〈i₁，i₂，…，i_k;j₁，j₂，…，j_k〉})表示矩阵B_{(i₁，i₂，…，i_k)}中删去第j₁，j₂，…，j_l列后所得的k×(n-l)矩阵.那么，矩阵的k积和式可利用矩阵的行和积来计算，即

per_kB=(-1)^jσ^(k)_n-k+j(B).

本计算式仅在理论研究中和对一些特殊矩阵的计算有用，至今尚未找到一个简单有效的k积和式算法.由于per_kB=per_kB^T，这里B^T为B的转置矩阵，因此对矩阵的k积和式言，行和列的地位平等.