常系数线性齐次递归关系

英文

linear homogeneous recurrence relation with constant coefficients

简介

一种重要的递归关系.数列{a_n|n=0，1，2，…}满足如下的递归关系(R)：

a_n＝C₁a_n-1+C₂a_n-2+…+C_pa_n-p (n≥p)，

其中C₁，C₂，…，C_p都是常数，且C_p≠0.方程

x^p-C₁x^p-1-C₂x^p-2-…-C_p＝0

称为(R)的特征方程;它的根α₁，α₂，…，α_p称为(R)的特征根.(R)的通解可分为下列两种情形：

1.当特征根α₁，α₂，…，α_p是p个不同根时，(R)的通解是：a_n＝λ₁αⁿ₁+λ₂αⁿ₂+…+λ_pαⁿ_p，其中λ₁，λ₂，…，λ_p为任意常数.

2.当特征根出现重根时，即，特征根为α₁，α₂，…，α_q，其中α_i为u_i (i=1，2，…，q)重根，且u₁+u₂+…+u_q＝p，从而αⁿ₁，nαⁿ₁，n²αⁿ₁，…，n^u₁-1αⁿ₁;αⁿ₂，nαⁿ₂，n²αⁿ₂，…，n^u₂-1αⁿ₂;…;αⁿ_q，nαⁿ_q，n²αⁿ_q，…，n^n_q-1αⁿ_q是(R)的p个解，此时(R)的通解是：

其中λ^(j)_i(i=1，2，…，u;j=1，2，…，q)为p个任意常数.给出a₀，a₁，…，a_p-1的一组初值，通解中p个常数完全确定.