阶乘函数

英文

factorial function

简介

一类特殊的函数.函数[x]ⁿ＝x(x+1)(x+2)…(x+n-1) (n≥1，[x]⁰＝1)称为升阶乘函数;函数[x]_n＝x(x-1)(x-2)…(x-n+1) (n≥1，[x]₀＝1)称为降阶乘函数，这里x∈R，n∈N，特别地，记[n]_n＝n!.升、降阶乘函数统称阶乘函数.幂函数xⁿ，以及升、降阶乘函数[x]ⁿ和[x]_n是组合学中三个基本的计数函数.升阶乘函数[x]ⁿ的组合学意义：将n个可分辨的球，分放到x个有序盒子中，每个盒子可放入的球数不限，其放法总数等于[x]ⁿ.降阶乘函数[x]_n 的组合学意义：集合S={1，2，…，x}的n元排列的个数等于[x]_n.三基本计数函数之间的关系如下：若[x]_n＝S₁(n，0)+S₁(n，1)x+S₁(n，2)x²+…+S₁(n，n)xⁿ，则系数S₁(n，k) (k=0，1，…，n)为第一类斯特林数;反之，若xⁿ＝S₂(n，0)+S₂(n，1)[x]₁+S₂(n，2)[x]₂+…+S₂(n，n)[x]_n，则系数S₂(n，k) (k=0，1，…，n)为第二类斯特林数;若[x]ⁿ＝L′(n，0)+L′(n，1)[x]₁+L′(n，2)[x]₂+…+L′(n，n)[x]_n，则系数L′(n，k) (k=0，1，…，n)为带符号的拉氏数.升阶乘函数[x]ⁿ和降阶乘函数[x]_n在组合分析、有限差分中的地位与幂级数xⁿ在数学分析中的地位具有同样的重要性.