英文
Rayleigh-Ritz method
简介
简称里兹法。利用泛函驻值条件求未知函数的一
种近似方法。它首先由瑞利 (1877) 在声学中采用，
尔后由W. 里兹 (1908)作为一种有效方法提出。此
法取待求函数f(x)为n个线性独立的已知连续函
数fi(x)的线性组合：
为待
定系数。代入泛函Φ[f(x)]，再通过泛函驻值条
件∂Φ/∂αi＝0， i=1， 2， …， n， 得到以αi为未
知数的n个方程。解此方程组即得到函数f(x)的
近似式。在弹性力学中，用最小势能原理求弹性体
的位移ui(x)时，可取
uj(i)(x) 为3n个使ui满足位移边界条件的选定连
续函数; Aj(i)为3n个待定系数。将ui(x) 的近
似式代入总势能Пp(ui) (参见弹性力学最小势能
原理)，由泛函极值条件
得到3n个关于Aj(i)的代数方程式。解此方程组得
到全部位移ui的近似式。由位移可求出应变，进
而可求出应力。一般地说，这样求出的应力精度较
低 (与位移相比)。里兹法也可用于求物体弹性振
动的固有频率的近似值。
在杆系结构分析中，以势能驻值原理为依据，
把体系的总势能П表为位移v(x)的函数，并通过把
v(x)近似地用n个函数的线性组合来表示的办法，
将无限自由度体系转化为有限自由度体系来计算的
一种近似解法。由英国科学家瑞利于1877年，瑞
士物理学家里兹于1908年提出。以直梁的线弹性
问题为例，本方法的主要步骤为： ①将梁的总势能
П表为位移v(x)的函数，即
式中，Pi、Δi分别为作用于梁上的外荷载及相应
的位移，EI为梁的抗弯刚度; ②将梁的位移v(x)
取为n个函数的线性组合， 即v(x)=
aiφi(x)c
式中i(x)为满足位移边界条件的位移函数，ai为
任意常数参数。这样就把梁当作具有n个自由度
的体系来看待; ③将v(x)代入Π的表达式，由势
能驻值条件，可建立含n个方程的线性代数方程
组
＝0 (i=1， 2， …， n)。 据此可解出n个参
数ai。④将求得的ai代回v(x)的表达式，即可求
得位移v(x)的近似解，进而可求得梁的内力。此
方法不仅可用于结构静力分析，而且广泛地用于结
构动力分析、结构稳定理论、有限元法以及板壳的
分析等等。对于不能进行精确分析或求解非常困难
的结构，采用这一方法是很有效的。瑞利-里兹法
也可在余能驻值原理中加以应用。
在杆件结构稳定中，建立在势能驻值原理基础
上用以求解临界荷载的一个近似方法。它采用具有
n个广义坐标的位移函数近似代替真实的位移曲
线，将具有无限多个变量的泛函变分问题转化为有
限多个变量的多元函数求极值的问题来处理，从而
把求解微分方程的问题化为解线性代数方程组的问
题。属于求解变分问题的直接法。用它求解稳定问
题的要点为： 先写出压杆在中性平衡状态下的总势
能Π的表达式; 设压杆的位移曲线为v(x)=
aii(x)，其中i(x) 为满足几何边界条件的已
知函数，ai为常数参数; 将v(x) 代入Π的表达
式，并由δП=0的条件，可得到n元齐次线性代
数方程组
∂П/∂ai＝0(i=1，2，…，n)
据此，可导出压杆的稳定方程，进而可确定临界荷
载的近似解 (大于精确解)。