二元线性回归

英文

binary linear regression

简介

有两个自变量的线性回归.设随机变量Y与变量X₁，X₂存在相关关系，若X₁，X₂固定时，Y服从正态分布，(x_1i，x_2i，y_i)(i=1，2，…，n)是(X₁，X₂，Y)的n个观察值，亦可由最小二乘法确定一个线性回归方程

Y^＝b₀+b₁X₁+b₂X₂，　　　　(1)

因Y与X₁，X₂之间是相关的，所以把散布点集(x_1i，x_2i，y_i)(i=1，2，…，n)描绘在空间直角坐标系中，则这n个点的散布图构成一个空间点集，称为三维空间散布图.用最小二乘法可以求得拟合(X₁，X₂)与Y两者间关系的最佳之线性方程，即用方程(1)表示的这样一个平面，它使在诸点(x_1i，x_2i)的观察值y_i与相应Y^值之间的离差平方和为最小.称此平面为Y对X₁，X₂的回归平面.上述回归分析称为二元线性回归.其中b₀为常数项，而b₁，b₂分别称为Y对X₁与X₂的偏回归系数.要确定回归平面必须选取使离差平方和

Q(b₀，b₁，b₂)=(y_i-b₀-b₁x_1i-b₂x_2i)²

达到最小的一组b₀，b₁，b₂.用求偏导数的方法可得到b₀，b₁，b₂满足的正规方程组

常数项b₀由下式：b₀＝Y–-b₁X–₁-b₂X–₂确定.其中Y–，X–₁，X–₂分别为其观察值y_i，x_1i，x_2i的平均数，即

Y–＝y_i，X–₁＝x_1i，X–₂＝x_2i.

为了简化上述方程组的形式，令：

　　l₁₁＝x²_1i–x_1i²;

　　l₂₂＝x²_2i–x_2i²;

　　l₁₂＝l₂₁＝x_1ix_2i–x_1ix_2i;

　　l_1Y＝x_1iy_i–x_1iy_i;

　　l_2Y＝x_2iy_i–x_2iy_i.

则正规方程组可写成

解此方程组，则可求得b₁和b₂的值为：

b₁＝;　　b₂＝.