数学百科

关系

2023-05-10

常指二元关系.数学的基本概念之一.任一序偶的集合R称为一个二元关系.R中任一序偶〈x,y〉可记为〈x,y〉∈R或xRy,称对象x与y为有关系R.不在R中的任一序偶〈x,y〉可记为〈x,y〉∉ R或xRy(参见“反关系”).例如,在实数中关系“<”可记为

任何二元谓词P(x,y)可以确定一个二元关系.即所有使P(x,y)为真的序偶所组成的集合:{〈x,y〉|P(x,y)成立}.等价地,令X和Y是任意两个集合,直积X×Y的任何子集R称为X到Y的一个关系.令R为二元关系,由〈x,y〉∈R确定的所有x组成的集合dom R(或D(R))称为R的定义域(或前域).即dom R={x|(y)(〈x,y〉∈R)}.使〈x,y〉∈R的所有y组成的集合ran R(或C(R))称为R的值域(或后域),即ran R={y|(x)(〈x,y〉∈R)}.R的定义域和值域之并称为R的变域.记为FLD(R)(或F(R))即FLD(R)=dom R∪ran R.设RX×Y,则dom RX,且ran RY.今后把X×Y的两个平凡子集X×Y和分别称为X到Y的全关系和空关系.当X=Y时,关系R是X×X的子集.这时R称为X上的二元关系.可将二元关系的定义推广到n元关系:设RX1×X2×…×Xn,则R称为n元关系(参见本卷《形式逻辑》中的“关系”).