指各项是正整数次幂的幂函数的函数项级数.形如
an(x-a)n
的级数，其中a与an(n=0，1，2，…)是常数，an称为它的第n个系数.幂级数的收敛域是以a±ρ为端点的区间，这里
ρ=1
称为该级数的收敛半径.开区间(a-ρ，a+ρ)称为收敛区间.收敛域与收敛区间不一定相同，端点a±ρ是否属于收敛域要单独判定.当
λ=
＝0
时，ρ=+∞，收敛区间为(-∞，+∞);当λ=+∞时，ρ=0，收敛区间退化为一点x=a.若ρ为正实数，则
an(x-a)n
在其收敛区间内绝对收敛，在该区间的任一有界闭子集上一致绝对收敛，在[a+ρ，a-ρ]外发散.幂级数可在其收敛区间内逐项微分与积分任意次，并且每次得到的级数的收敛半径均相等(但在区间端点处的情况可能各异).在收敛区间端点a+ρ(或a-ρ)处，若幂级数收敛，则在[a，a+ρ](或[a-ρ，a])上该幂级数一致收敛，它的和函数在a+ρ(或a-ρ)处连续.由此可见，具有正的(包括+∞)收敛半径的幂级数的和函数，在其收敛区间上是任意次可微的(其实还是解析的)，且该级数就是其和函数的泰勒展开式.反之，对于在点a任意次可微的函数，若其泰勒公式的余项在a的某邻域内处处极限为0，则此函数必为某一幂级数(实际上即其泰勒级数)之和函数.在复变函数论中，幂级数理论更加丰富，可反映出和函数一些更为深刻的本质属性.