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狄利克雷判别法

关于数项级数、函数项级数、广义积分和含参量广义积分的收敛与一致收敛性的四个判别法.即:

1.若实数列{bn}单调地趋于0,数项级数∑an的部分和序列有界,则∑anbn收敛.

2.设{fn}与{gn}是定义在集合A上的(一元)函数列,若对每个x∈A,数列{gn(x)}单调,gn一致收敛于0,级数∑fn的部分和序列一致有界(即存在M>0,对所有x∈A及所有正数n,有|∑fn(x)|≤M),则∑fngn在A上一致收敛.

3.设f,g:[a,b)→R(b≤+∞).若x→b-时,g(x)单调地趋于0,函数

有界,则广义积分

收敛.

4.设f,g:A×[c,+∞)→R,若

是x与M的有界函数(x∈A,M∈[c,+∞)),关于任意x∈A,g对于y单调,且y→+∞时,f(x,y)关于x一致收敛于0(即对任意ε>0,存在M0>c,对所有y>M0及所有x∈A,有|f(x,y)|<ε),则

一致收敛.

对其他类型的广义积分也有类似的狄利克雷判别法.上述第一个狄利克雷判别法首见于狄利克雷(Dirichlet,P.G.L.)于1862年发表的文章中.后来由哈代(Hardy,G.H.)推广到一致收敛性情形.