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泰勒级数

一种特殊的函数级数.指某个与函数有特定关系的幂级数.若函数f在x=a的任意阶导数都存在,则幂级数

(x-a)n

(其中f(0)(a)表示f(a))称为函数f在点a的泰勒级数,它的各项系数f(n)(a)/n!(n=0,1,2,…)称为f在点a的泰勒系数.若x-a的幂级数an(x-a)n是某个函数f在x-a处的泰勒级数(其系数为f(x)的泰勒系数时),则可以

f(x)~an(x-a)n

表示.任给函数f,它在a处的泰勒级数当x=a时明显收敛于f(a),但在x≠a时不一定收敛,即使收敛也不一定收敛于f(x)(例如由g(x)=e-x2(x≠0),g(0)=0定义的函数g,它在x=0的泰勒级数各项都是0,除x=0外都不收敛于g(x)).任给幂级数an(x-a)n,总可以找到函数f,使得f在x=a处的泰勒级数就是这个幂级数,但是这样的f不惟一(若g是前面提到的函数,则f(x)+g(x)与f(x)在x=a的泰勒级数相同).

对于多元函数,若它在某一点的任意阶偏导数都存在,则它在这一点也有泰勒级数.以二元函数为例,f(x,y)在(0,0)的泰勒级数是

f(0,0)+x+y+x2

+xy+y2+…+xn

+xn-1y+…+

·xn-kyk+…+yn+…,

多元函数与其泰勒级数之间的关系也可记为“~”,因此,上面f(x,y)及其在(0,0)的泰勒级数可记为:

f(x,y)~xpyq.

若采用算子写法,则n元函数f(x)(x∈Rn)与它的泰勒级数也可记为:

f(x)~(x·)mf(0),

其中x=(x1,x2,…,xn),

=x1+x2+…+xn

(向量x与的内积),(x·)m为x·的m次幂.泰勒级数是泰勒(Taylor,B.)于1715年发表的,当时未考虑其收敛性.此前于1694年,约翰第一·伯努利(Bernoulli,Johann Ⅰ)发表过类似的结果.