指将无穷数列(或函数列)的各项依次用加号连结而成的表达式.若给定序列｛an｝，则a1+a2+…+an+…就是一个无穷级数，简称级数，记为
an.
当｛an｝为数列时，它称为数项级数;｛an｝为函数列时，它称为函数项级数，其中的a1，a2，…，an，…分别称为该级数的第一项，第二项，…，第n项，…，统称为项.下标取自然数值的变量时的an称为通项.级数是无穷项相加，它已不再是算术运算.对于
an，
它的前n项之和Sn＝a1+a2+…+an称为它的第n部分和(n=1，2，…)，统称为部分和.若给定一个级数，则它的部分和序列就确定了;反之，若任给一个序列｛Sn｝，则以它为部分和序列的级数也是惟一确定的，即S1+(S2-S1)+…+(Sn-Sn-1)+…因此，研究级数与研究序列是一致的，有关它们的结论都可以通过适当形式互相转化.例如，级数的收敛性与其部分和序列的收敛性是相同的.另一方面，无穷级数与无穷积分也是相似而联系密切的，在某种意义上，前者是离散量之和，而后者是连续量之和，因此有关二者的研究结果也可以互相转化.对于一个无穷级数，首要的问题是它的收敛性，因此，收敛性的各种意义和判别法，以及在这些意义下收敛的级数的性质和应用，成为无穷级数理论的基本部分.但是，随着数学的发展，人们发现某些不收敛的级数(发散级数)也是有用的，于是又有了发散级数求和与渐近级数这样一些内容，它们大部分已不属于数学分析范围.无穷级数是广泛使用的数学工具.主要是用它来表示函数或数，另外也可用它来作近似计算.许多函数都可以用幂级数或三角级数表示.于是借助于级数，就可以由幂函数或三角函数之类的性态已知的或较好的函数出发，去研究更多新的函数.像牛顿(Newton，I.)在刚创立微积分时，就是用幂级数展开式的逐项微分或积分(当然那时是形式上的运算)，来计算很多函数无法直接求出的微分或积分.现在幂级数更是解析函数理论的基础.于是由此产生两类问题.一方面是从级数的各项函数的性态去推测和函数是否存在(收敛性)，以及存在时它的性态如何(连续、可微、可积等)，这属于无穷级数的基本理论.再就是讨论一个函数展开为某类级数的条件及展开方法和结果等问题.
历史上古希腊时代已经出现了公比小于1的无穷几何级数，亚里士多德(Aristotle)已认识到这种级数有和.至迟到15世纪中叶，英、法的一些数学家已研究了某些特殊的数项级数，例如，奥尔斯姆(Oresme，N.)证明了调和级数
发散.至于级数与微积分的关系，前面已经提到，从牛顿开始，级数就是微积分证明和计算的工具.18世纪对级数的研究有很大发展，像对函数展开成级数的研究，出现了现在所谓的泰勒级数.还开始了对三角级数的研究，以及一些为了特殊的应用目的得到了关于级数的巧妙而有用的结果(例如欧拉-麦克劳林公式).这个时期的很多数学家如约翰第一·伯努利(Bernoulli，Johann Ⅰ)、雅各布第一·伯努利(Bernoulli Jacob Ⅰ)、泰勒(Taylor，B.)、麦克劳林(Maclaurin，C.)、达朗贝尔(d’Alembert，J.le R.)和拉格朗日(Lagrange，J.-L.)等，都对级数理论和应用作过很大贡献，特别是欧拉(Euler，L.)，不但给出了大批公式，还研究了复数项级数，把级数用于数论等方面.但是他们一直对级数的收敛与发散的概念都是含糊不清的，甚至没有认真对待过这个问题.他们把幂级数当做多项式的代数的推广，形式地进行包括逐项微分和逐项积分的运算，出现过不少错误和矛盾.
级数理论的严密化开始于19世纪初.1811年，傅里叶(Fourier，J.-B.-J.)给出了级数收敛性的正确定义，1812年，高斯(Gauss，C.F.)在历史上第一次完整而严格地处理了一个级数(超几何级数)，1821年，柯西(Cauchy，A.-L.)在其《分析教程》中建立了收敛性的近代理论的基础，并成为复变函数论形成中的主要因素之一.1826年，阿贝尔(Abel，N.H.)给出了二项级数的第一个严格证明，同时还研究了幂级数的和函数的连续性.到19世纪中叶，外尔斯特拉斯(Weierstrass，K.(T.W.))、狄利克雷(Dirichlet，P.G.L.)及黎曼(Riemann，(G.F.)B.)等人又明确了一致收敛的概念，研究了级数的逐项积分及级数的项的重排等问题.这样，无穷级数的收敛性理论趋于完整.现在无穷级数已经成为物理、化学、生物、工程等许多方面的常用数学工具之一.