第二型曲面积分

关于在坐标面投影的曲面积分.设S为双侧的简单光滑曲面，f为定义于S上的函数，若将第一型曲面的积分和(参见“第一型曲面积分”)中的A(S_i)(S_i的面积)，换成S_i在xy平面上投影的面积(可正可负，且当所选定曲面的一侧的单位法向量与z轴正向的夹角为锐角时，规定投影为正，否则为负)，然后再以同样方式取极限，所得极限值(若存在)称为函数f沿曲面S(所选定的一侧)关于x，y的积分，记为

f(x，y)dxdy.

类似地定义沿曲面关于y，z和关于z，x的积分，并有类似的记号.一般将关于三个坐标面的曲面积分合写在一起成为

(Pdydz+Qdzdx+Rdxdy)，

其中P，Q，R是定义在S上的x，y，z的函数.若将它们作为向量函数的分量，写成

f=(P，Q，R)，又令n为S上所取定的一侧的单位法向量，则上述积分可写成

f·ndS

(这实际上是一个第一型曲面积分).这两个积分式就是第二型曲面积分的一般形式.当S为闭曲面时，积分号可改为.当S为有限片光滑曲面的并集(各片间无公共内点)时，沿S的积分定义为沿各片积分之和.被积函数在曲面S上连续时，相应的第二型曲面积分存在.沿曲面的第二型曲面积分与所选定的曲面的侧有关，同一函数沿同一曲面两侧的第二型曲面积分之值大小相等符号相反.第二型曲面积分可化为第一型的.若在所选定的一侧，曲面S的单位法向量n的方向余弦是(cos α，cos β，cos γ)，则

　　　(Pdydz+Qdzdx+Rdxdy)

　　=(P cos α+Q cos β+R cos γ)dS.

沿S的第二型曲面积分的值与曲面S的参数表示的选择无关，但当参数表示选定后，第二型曲面积分可以化为关于(两个)参数的二重积分来计算.例如对于

Pdydz，

若当(u，v)∈D时，(φ₁(u，v)，φ₂(u，v)，φ₃(u，v))=(x，y，z)∈S，并且

则

　　
Pdydz=Pdudv

　　　　　　-Pdudv.

沿曲面关于z，x和关于x，y的积分，可以仿此处理.当曲面S由z=f(x，y)((x，y)∈D)给出时，

　Pdydz+Qdzdx+Rdxdy

＝±(-P(x，y，f(x，y))

-Q(x，y，f(x，y))+R(x，y，f(x，y)))dxdy，

其中“±”的取法为：沿S上侧积分时取“+”，沿下侧积分时取“-”.一些物理量可以用第二型曲面积分表示或计算.例如，密度为1的不可压缩流体以速度v作稳定流动时，单位时间通过曲面S的流量为v·ndS或v_xdydz+v_ydzdx+v_zdxdy(v_x，v_y，v_z是v沿x，y，z轴的分量).