广义重积分

广义黎曼重积分的简称.又称反常重积分或非正常重积分.一类多元函数积分.指无界多元函数及无界集上多元函数的积分.设DRⁿ(n≥2)，D_mD(m∈N₊)满足：

1.每个D_m有界、闭、若尔当可测;

2.D_mD_m+1(m∈N₊);

3.D=D_m，

则｛D_m｝称为D的允许集列或近似增加列.例如，若D是闭无界区域，其边界的任何有限部分的若尔当容度为0，则D_m＝｛x∈D｜x｜≤m｝就形成允许集列;若D=K/F，其中K是紧致集，F是闭集，D_m＝｛x∈D｜d(x，F)≥1/m｝，d(x，F)表示x到F的距离，则当所有D_m若尔当可测时｛D_m｝是允许集列.若在点x∈Rⁿ的任意邻域内函数f无界，则x称为f的奇点.设P为f的所有奇点之集，且P是闭若尔当零集.设f：D/P→R几乎处处连续.若f非负，且存在D/P的允许集列｛D_m｝，使 ∫_Dmf存在有限极限I，则f称为在D上广义可积，I称为f在D上的广义重积分，记为

I=∫_Df=∫_Df(x)dx，

并称积分∫_Df收敛或存在.否则称∫_Df发散或不存在.当f不一定非负时，设f⁺＝max｛f，0｝，f^–＝max｛-f，0｝，若∫_Df⁺与∫_Df^–收敛，则f称为在D上广义可积，积分

∫_Df=∫_Df⁺-∫_Df^–

收敛.当f有界且D若尔当可测时，上述定义与重积分的定义一致.若∫_D｜f｜收敛，则称积分∫_Df绝对收敛.与广义的单积分不同，广义重积分∫_Df收敛当且仅当它绝对收敛.下面两条关于广义重积分收敛的结论是常用的：

1.若D无界，对任意实数r，集合｛x∈D｜x｜<r｝若尔当可测，f在D上连续，则当存在M>0使对｜x｜充分大的x∈D，有｜f(x)｜≤M/｜x｜^p，且p>n时∫_Df收敛，有｜f(x)｜≥M/｜x｜^p，且p≤n时∫_Df发散.

2.若D若尔当可测，f在D/｛a｝上连续，则当存在M>0使对a的某邻域内的x∈D，有｜f(x)｜≤M/｜x-a｜^p，且p<n时∫_Df收敛，有｜f(x)｜≥M/｜x-a｜^p，且p≥n时∫_Df发散.

另有不同的定义广义重积分的方法.例如，有些文献中首先称下列集列｛D_m｝为D的允许集列：每个D_m是开的若尔当可测集，D_m+1，D_m＝D，然后对在D/P上几乎处处连续的函数f(P是f的所有奇点之集)，在关于D/P的任意允许集列｛E_m｝， ∫_Emf存在，有限，且不依赖于｛E_m｝的选择时，称积分∫_Df收敛，否则称∫_Df发散.还有一种定义，首先设f：G→R，G是Rⁿ的开集，｛G_m｝满足：

1.所有G_m是若尔当可测集.

2.G_mG_m+1，G.

3.G_m＝G.

若f在每个G_m上黎曼可积，且对任意满足上述条件的｛G_m｝，

∫_Gmf

存在，有限，且与｛G_m｝的选择无关，则称积分∫_Gf收敛，否则称∫_Gf发散.对上述两种定义，收敛性仍与绝对收敛性等价.

含参量积分的内容可以没有困难地推广到广义重积分.