换元积分法

亦称变量替换积分法.指由复合函数求导数的链式法则逆转得到的积分法.这是用替换积分变量，使被积函数的形式改变，然后再计算积分的方法.对于不定积分，其一般公式是

具体应用此公式有两种方式.一种是欲求的积分呈公式左端的形式，直接将积分变量x以t的适当的函数φ(t)代入，变成形如右端以t为积分变量的积分，化简后求出原函数(t的函数)，然后再按关系x=φ(t)将原函数由用变量t表示换回用x表示.这种方法有时称为第一换元积分法，适用于f(φ(t))φ′(t)(化简后)的原函数易求的情形，如三角代换、有理代换均属此类.另一种用法，是先将欲求的积分写成公式右端的形式，再化为对x的积分(公式左端)，求出原函数后，按关系x=φ(t)代回用t表示.由于公式(1)也可写成

可见关键在于选择φ(t)，凑出微分dφ(t)，所以它又称凑微分法或第二换元法.对于定积分，换元积分法的一般公式是

其中a=φ(α)，b=φ(β)，并且φ(t)满足条件：

1.φ(t)当t在α，β之间取值时可微，φ′可积.

2.当t在α，β之间取值时，φ之值不超出[a，b]之外.通常应用时，只需φ严格单调或φ′不变号且可积即可.对于重积分，变量替换公式是

其中ARⁿ是若尔当可测的，A=φ(B)，x=φ(t)是n元(n维)向量值函数(n个n元函数)，属于C¹类且使雅可比行列式Jφ(t)在A上不等于0(因此，在A上，t与x通过x=φ(t)的对应是一一的).取f(x)=1，由此可见

这表示了Jφ的几何意义.