代数函数

即满足多项式方程F(x，y)=0的函数y=f(x).方程F(x，y)=0可以按y的幂展开成

P₀(x)y^m+P₁(x)y^m-1+…+P_m(x)=0，

式中P₀(x)，P₁(x)，…，P_m(x)是x的多项式.P₀(x)0，按x∈C(复数域)或Cⁿ(复n维空间)分别称所确定的函数f为一元的或n元的代数函数.代数函数是解析函数.当m=1时，得到有理函数;当m=2，3，4时，得到用开方或开立方表示的无理函数.当m≥5时，上述方程一般不能用代数运算求解，即代数函数一般不能用有理、无理函数或其他初等函数表示.在代数函数的系统理论中，一般是将它看做复变函数来研究.从19世纪初阿贝尔(Abel，N.H.)开始研究代数函数以来，它的丰富内容已成为函数论的重要部分，并成为代数几何学的来源之一.