凸函数

一类重要的实函数.若f(x)是定义在区间[a，b]上的(一元)函数，对任意x₁，x₂∈[a，b]和任意满足0<λ<1的常数λ，都有

f(λx₁+(1-λ)x₂)≤λf(x₁)+(1-λ)f(x₂)，

则f(x)称为[a，b]上的凸函数.它的几何特征是，以凸函数的图象(曲线)上的任意两点为端点所连结的线段，一定在图象的上方(或相重合)，即凸函数的图象(曲线)是向下(y轴负向)凸出的.如果凸函数的图象在某点有切线(这样的点是很多的)，则它的整个图象都在这条切线的上方(y轴正向).凸函数是绝对连续(定义见本卷《实变函数论》)的.由此可知，凸函数处处连续，且除去一个勒贝格测度为0的点集之外处处可微，在可微点集上导数递增.对于一阶(二阶)可微函数，它是凸的充分必要条件是：一阶(二阶)导函数递增(非负).凸函数还是其导函数的(勒贝格)不定积分.凸函数最早是由延森(Jesen，J.L.W.V.)于1905年及1906年的两篇论文中定义和系统研究的，他定义满足

f≤(f(a)+f(b))

(a，b为任意实数)的一元函数f(x)为凸函数(现称中点凸函数).他定义的这种函数不一定处处连续(不一定勒贝格可测)，如果加上函数f(x)连续的条件，他的定义与现在的定义是等价的.在他之前，赫尔德(Ho¨lder，O.L.，1889)、施托尔茨(Stolz，O.，1893)、阿达马(Hadamard，J.(-S.)，1893)已经得到过有关凸函数的零星结果.现在，凸函数的概念已被推广到多元函数以及泛函分析中的线性空间中的多种抽象背景之下，并已形成专门研究有关问题的独立数学分支(《凸分析》).