区间套定理

刻画实数系完备性的命题之一.该定理指出：一个套一个的一列闭区间的交集必定不是空集.定理的严格表述如下：设｛[a_k，b_k]｝^∞_k=1是R中的闭区间列，若对每一个正整数k有[a_k+1，b_k+1][a_k，b_k]，则

[a_k，b_k]

非空;进一步，若还有b_k-a_k→0(k→∞)，则

[a_k，b_k]

是单元素集，即存在惟一的点c属于所有[a_k，b_k](k∈N₊)，并且

a_n＝ b_n＝c.

实数系的这个性质是康托尔(Cantor，G.F.P.)建立的.对Rⁿ有下列推广.若｛F_k｝^∞_k=1是Rⁿ的非空有界闭子集列，且F₁F₂…F_k…，则

F_k≠;

若还有 diam F_k＝0(这里diam表示直径)，则

F_k

是单元素集.特别地，当F_k是非空有界闭区域时，就得到区域套定理(参见本卷《高等几何》中的“康托尔公理”).