二次曲线的主方向

二次曲线的重要概念之一.即二次曲线主直径的方向.设主直径所平分的弦的方向为l∶m，则与方向l∶m(l，m不同时为零)共轭的方向-(a₁₂l+a₂₂m)∶(a₁₁l+a₁₂m)(参见“二次曲线的直径”)就是主直径的方向，它们互相垂直的充分必要条件是

＝.　　(1)

设其比值为λ≠0(若λ=0，则主直径不存在)，因此主方向l∶m满足方程组

即

＝λ.　　　　(2)

它有非零解的充分必要条件是

＝0，

即

λ²-I₁λ+I₂＝0.　　(3)

这个方程称为二次曲线的特征方程，它必有两个实根(称为特征根)，而且至少有一个非零的特征根.式中I₁＝a₁₁+a₂₂，I₂＝a₁₁a₂₂-a²₁₂.确定二次曲线的主方向和主直径的一般步骤是：

1.由特征方程(3)解出特征根λ(至少有一个根不为零).

2.将特征根λ代入上面方程组(2)解得主方向l∶m=a₁₂∶(λ-a₁₁)=(λ-a₂₂)∶a₁₂.当λ=0时，对应的主方向是二次曲线的渐近方向.

3.将非零特征根所对应的主方向代入直径的方程l(a₁₁x+a₁₂y+a₁₃)+m(a₁₂x+a₂₂y+a₂₃)=0，即得主直径的方程.

当I₂≠0时，若Δ=I²₁-4I₂＝(a₁₁-a₁₂)²+4a²₁₂＝0，则特征根为二重根λ=a₁₁＝a₂₂(≠0).二次曲线(为圆)的任何直径都是主直径.若Δ≠0，二次曲线有两条主直径.当I₂＝0时，二次曲线(不妨设a₁₁>0)只有一条主直径

αx+βy+＝0，

式中α=₁₁，a₁₂/α=β，β²＝a²₁₂/a₁₁＝a₂₂.α∶β就是特征根λ=a₁₁+a₂₂所对应的非渐近主方向.而主直径的方向-β∶α=-a₁₂∶a₁₁是渐近方向.