倒数方程

亦称反商方程.一种特殊方程.即根的倒数亦为其根的整式一元方程.如果一元n次方程f(x)=0的根和f(1/x)=0的根完全相同，则称f(x)=0是一元n次倒数方程.它有下面两种形式：

　　a₀xⁿ+a₁x^n-1+……+a₁x+a₀＝0 (a₀≠0)，(1)

　　b₀xⁿ+b₁x^n-1+……-b₁x-b₀＝0 (b₀≠0).(2)

方程(1)称为第一类型倒数方程，亦称互反方程;方程(2)称为第二类型倒数方程.它的特点是首项系数和常数项，x的n-1次项系数和一次项系数，…，x的n-k次项系数和x的k次项系数，或是都相等，或是都相差一个负号.当n为偶数时，设n=2m，倒数方程可写为

　　a₀x^2m+a₁x^2m-1+…+a_m-1x^m+1+a_mx^m

+a_m-1x^m-1+…+a₁x+a₀＝0 (a₀≠0)，(3)

　　b₀x^2m+2+b₁x^2m+1+…+b_mx^m+2-b_mx^m

-…-b₁x-b₀＝0 (b₀≠0).(4)

方程(3)称为第一类型偶次倒数方程，方程(4)称为第二类型偶次倒数方程.应该注意到方程(4)正中间的一项系数b_m+1为零.当n为奇数时，设n=2m+1，倒数方程可写为

　　c₀x^2m+1+c₁x^2m+…+c_mx^m+1+c_mx^m

+…+c₁x+c₀＝0 (c₀≠0)，(5)

　　d₀x^2m+1+d₁x^2m+…+d_mx^m+1-d_mx^m

-…d₁x-d₀＝0 (d₀≠0).(6)

方程(5)称为第一类型奇次倒数方程，方程(6)称为第二类型奇次倒数方程.第二类偶次倒数方程(4)有根±1，求出根±1后可以化为一个形如方程(3)的2m次方程;第一类奇次倒数方程(5)有根-1，求出根-1后也可以化为一个形如方程(3)的2m次方程;第二类奇次倒数方程(6)有根1，求出根1后仍可以化为一个形如方程(3)的2m次方程.因此，方程(4)，(5)，(6)分别求出根±1，-1或1以后，所得的降次方程都是第一类偶次倒数方程，所以，第一类偶次倒数方程又称为标准型倒数方程.