elementary mathematics数学的对象和方法较简单、较基础的部分.它以研究常量及不变空间形式为其基本内容.通常认为初等数学包括算术、初等几何(平面的和立体的)、初等代数、平面三角、解析几何(平面的和空间的)、球面几何与球面三角等学科.它是一切数学学科的基础，现代社会生活、生产和科学研究各个方面都离不开它，它的一些基本理论和方法已是中、小学数学课程的主要内容.在世界上，从远古时代起至公元前5世纪，是算术和初等几何形成的时期.初期的数学是与生产和生活实践直接相关的，人们从实践中提取出来的许多单个法则和经验公式还没有形成具有逻辑关系的系统，算术和几何也还没有分开，彼此紧密地交错着，这是数学的萌芽时期.这些在埃及、巴比伦、中国和印度的史料中都有记载.
数学成为一门独立的、纯理论的科学，是从公元前2世纪形成的初等几何开始的.古希腊在这方面做出了突出的贡献，欧几里得(Euclid)利用公理化方法完成的《几何原本》、阿基米德(Archimedes)的著作和阿波罗尼奥斯(Apollonius，(P))的《圆锥曲线》等，使数学特别是几何学达到了顶峰.在《几何原本》中，欧几里得利用欧多克索斯(Eudoxus，(C))的比例论完成了相似形的理论，并利用欧多克索斯的穷竭法证明了三棱锥的体积公式以及与圆面积和球体积有关的命题.阿基米德用穷竭法完成了圆面积和球体积公式的证明.初等几何以它科学的逻辑演绎推理体系和丰富完整的内容而成为一门典型的理论数学.与算术和初等代数不同，从一开始就将其理论建立在若干公理的基础之上是初等几何的特点，最早用于建立几何的这种公理化方法的意义远不止于初等数学，它已成为建立各种数学理论的一种最基本的方法，公理化方法还被应用在力学和理论物理等学科中.
算术和初等代数的发展有所不同.希腊人在这个领域也做了不少工作，《几何原本》中有3卷是有关数与计算的.其后在中国、印度和阿拉伯的数学中引进了零和负数，建立了数制和运算法则以及代数方程和方程组的解法等，从而逐渐形成了算术和初等代数的主要内容——关于数的形式运算的一般学说.中国的包括《九章算术》在内的算经十书，印度的阿耶波多第一(Aryabhata，I)的《阿耶波多历数书》、婆罗摩笈多(Brahmagupta)的《婆罗摩修正历数书》和阿拉伯的阿尔·花拉子米(al-Khowarizmī，M.ibn M.)的《代数学》都是这方面的代表作，初等代数区别算术的根本特点在于用符号代替数，这在数学向更高的抽象层次发展中是一个质的飞跃.16世纪，法国韦达(Viete，F.)的关于符号代数的著作《分析方法入门》，他不仅用字母表示未知量和未知量的乘幂，而且用来表示一般的系数，他的名著《论方法的检查与订正》是方程论发展中的一个重要里程碑.其中有3次和4次方程的解法，他还发现了根与系数的关系.至此，算术和初等代数的基本轮廓已经确定.但是，算术的公理却直到19世纪才提出，这以后它的理论体系才趋于完善.
平面三角和球面三角分别论述了平面上和球面上三角形的边与角这两类几何量间的数量关系.而球面几何是球面三角的几何基础，它们基本上属于几何的范围，主要是由于实际生产和生活中计算方面的需要(特别是测量和天文方面)而发展起来的，并且在应用中逐步地得到完善.中国刘徽在《海岛算经》中所述的全部是关于高度、深度和距离的诸种测量的方法，希腊西奥多修斯(Theodosius (B))的《球面学》是关于球面几何的内容.德国的雷格蒙塔努斯(Regiomontanus J.)从事天文学和数学研究，他的著作《论一般三角形》对平面三角和球面三角进行了系统地阐述.
17世纪，笛卡儿(Descartes，R.)、费马(Fermat，P.de)创立了解析几何.笛卡儿对普遍科学的追求引导他创立了解析几何，他的数学著作《几何学》就是作为其哲学著作《方法论》的附录之一而出版的.他通过引进坐标而得出解决几何问题的方程.并用代数方法加以研究，由此得出了几何的各种性质，他将曲线看做动点的轨迹，初步有了变量的思想.费马的重要论文《平面与立体轨迹引论》是他试图重写阿波罗尼奥斯《论平面轨迹》而获得的研究成果，他致力于用解析形式对轨迹问题进行一般性研究，他独立于笛卡儿发现了解析几何的一般原理.费马与笛卡儿的解析几何的侧重点有所不同，费马侧重于不定方程解的作图，而笛卡儿则着重于代数方程的构造.解析几何完成了“形”与“数”的结合，于是几何概念可用代数来表示，几何的目标可通过代数的方法达到.反过来，给代数语句以几何的解释，可以直观地掌握那些语句的意义.解析几何是初等数学与高等数学的桥梁，它为微积分的创立做好了准备，为17世纪科学的发展，尤其为物理学的研究提供了有力的工具.
数学包含初等数学和高等数学两大部分，这种分法只是相对的，它们之间并无严格的分界线.虽然初等数学的基本内容在17世纪微积分诞生之前已基本形成，其丰富的内容和理性思维方式也已体现了数学的基本特征，即它的抽象性、逻辑的严谨性和应用的广泛性.但它的内涵和外延是随着时代的前进而改变的.解析几何、集合论以及初等函数等进入初等数学，也已超出了“常量数学”的局限.另外与算术有同样古老历史的数论，就其整体而言属于高等数学.高等代数中的方程论，现代数学中的组合论，以及许多高等数学学科的初等部分，都有这种情况.虽说初等数学总体上已经定型，但其中仍有新的研究课题，也还不断出现新的结果.例如高等数学问题的初等证明研究;数学竞赛活动;以及计算机的普及等也都为初等数学增添了活力.随着数学的发展，还将有新的内容补充到初等数学中去.
在理论方面，初等数学是整个数学的“土壤”的源泉，许多高等数学分支都从这里发育成长.对欧几里得的《几何原本》中“第五公设”(即平行公理)能否被证明的研究，导致了非欧几何的诞生;关于高次方程公式解的问题，由伽罗瓦(Galois，E.)完全解决了五次及五次以上方程用根式求解一般不可能的问题，为解决此问题他提出的群论使代数学发展到了一个高的层次.至今只须初等数学知识就能理解的许多问题仍是高等数学研究的课题，如著名的“哥德巴赫猜想”，再如困惑了几代数学家的“费马大定理”，经过了三个多世纪才在1995年被解决.这些已被解决了的和正在研究的问题，他们的工作意义不仅在于证明本身，更重要的是其研究中的思想和方法大大地丰富和发展了数学学科，甚至在某种意义上推动了数学的发展.
在计算方面，实际上一切有意义的数学计算最后都归结为初等数学的计算，甚至是算术的计算.社会生活、生产以及科学研究中各方面的计算都是如此.电子计算机和数字技术的发展，更使许多原来并非计算性的问题，可以用算术的计算及逻辑运算来解决，扩大了初等数学应用的范围.总之，初等数学是人类生存和发展所不可缺少的一门科学.